Que $\mathbb S^1$ denota el círculo unidad en $\mathbb R^2$.
Luego demostrar que para cada función continua $f:\mathbb S^1 \to \mathbb R$, hay uncountably muchos pares de puntos distintos $x, y$ $S^1$, que $f(x)=f(y)$.
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clark
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$S^1$ es compacto y conectado; la imagen continua de un compacto y conectado conjunto también es compacto y conectados, y por lo tanto, un intervalo acotado $[a, b]$$\mathbb R$. Deje $(\cos \theta, \sin \theta)$ ser un punto de $S^1$ tal que $f(\theta) = a$. Definir $$ g: [0, 2 \pi ] \S^1: t \mapsto (\cos (\theta + t), \sin(\theta + t))\\ h = f \circ g. $$
A continuación,$h(0)) = h(2\pi) = a$, y la imagen de $h$$[a, b]$.
Para algunos el punto de $0 < u < 2 \pi$, debemos tener $h(u) = b$.
Consideremos ahora los intervalos de $[0, u]$ y $[u, 2\pi]$. $h$ los mapas de cada uno de estos intervalos de forma continua para todo el intervalo de $[a, b]$. Para cualquier $c$ $a$ $b$ hay puntos de $x_L$ $x_R$ en los dos intervalos, respectivamente, con $h(x_L) = h(x_R) = c$, por el teorema del valor intermedio. Cada valor de $c$ ofrece y la instancia de un punto de par que se asigna el mismo valor en $[a, b]$ bajo $f$.
HappyEngineer
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Una manera útil de mirar esto es topológicamente. Si usted toma el % de espacio $S^1\times S^1$y extraiga la diagonal, el espacio es trayectoria-conectado todavía. Definir $h(x,y)=f(x)-f(y)$. Entonces cualquier camino entre $(x_0,y_0)$y $(y_0,x_0)$ dentro de este conjunto contiene un cero $h$. (¿Por qué?)
Luego, mostrar una incontable colección de curvas entre $(x_0,y_0)$ y $(y_0,x_0)$ 100% distinta - no par de caminos se cruzan (excepto en los extremos).
