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Question

Estoy tratando de encontrar el resultado de la integral en el título. Sé que el resultado es 8 (según mi calculadora y también wolframalpha), pero me la ha integrado multiplicar por $$ \frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{\sqrt{1-\sin(x)}} $$ después de poner de $\sqrt{2}$. Después de eso, la sustitución de $u = 1-\sin(x)$, pero mi sorpresa es que resulta ser 0 cuando me evaluar los nuevos límites. ¿Puede alguien señalar mi error?

Me encontré con que en algún foro, alguien integrados algo igual, un poco diferentes, pero el resultado es el mismo que me dieron: http://mathforum.org/library/drmath/view/53659.html

y como se puede ver, si usted convertir su integración límites, se obtiene que si $x = 0$, $u = 1 $ y si $ x = 2\pi$,$u = 1$, así que, por supuesto, usted obtendrá $ 0$.

Gracias de avanzada.

Answer 1

HINT:$$ 1+ \sin x = \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2$$

Answer 2

$\displaystyle{\\\int_0^{2\pi}\sqrt{2 + 2\sin(x)}\,dx = \int_0^{2\pi}\sqrt{2 + 2\sin(x)}\frac{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}\,dx = \int_0^{2\pi}\frac{2|\cos(x)|}{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}\,dx = \int_0^{\pi/2}\frac{2\cos(x)}{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}\,dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi}\frac{2\cos(x)}{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}\,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{-2\cos(x)}{\sqrt{2 - 2\sin(x)}}\,dx}$.

Los integrales son incorrectos, pero convergen y son fáciles de evaluar con la sustitución $u=\sin x$.

Answer 3

Creo que tu error fue no reconocer que debía tomarse un valor absoluto. Una sustitución simple ilustra esto.

Escriba $x=\pi/2-y$, la integral es

$$\begin{align}\sqrt{2} \int_{-3 \pi/2}^{\pi/2} dy \: \sqrt{1+\cos{y}} &= 2 \int_{-3 \pi/2}^{\pi/2} dy \: |\cos{(y/2)}|\\ &= 2 \left [-\int_{-3 \pi/2}^{-\pi} dy\: \cos{(y/2)} + \int_{-\pi}^{\pi/2} dy\: \cos{(y/2)} \right ]\\ &= 4 \left [ \sin{(-3 \pi/4)} - \sin{(-\pi/2)} + \sin{(\pi/4)} - \sin{(-\pi/2)} \right ]\\ &= 4 \left [-\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \right ] \\ &= 8\end{align}$$

Answer 4

Utilizando la fórmula de medio ángulo:

$$\sqrt{\frac{1+\cos x}2} = \left|\cos (x/2)\right|$$

Tan $$ \begin{align}\sqrt{2+2\sin x} &= 2\sqrt{\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}2}\\ &=2\left|\cos \left(\frac{\pi}4 - \frac{x}2\right)\right|\end{Alinee el} $$

Deben ser más fáciles de integrar. Se debe integrar por separado en los intervalos donde $\cos$ puede ser negativo.

Answer 5

La idea general es la de la derecha, y habrá una solución sencilla. Calcular como comenzó. Tenemos $$\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{\sqrt{1-\sin x}}.$$ Ahora viene la fuente de error. Es probable que automáticamente simplificada de la parte superior a $\cos x$. Esto no es correcto. Al $x$ es (estrictamente) entre $\pi/2$ y $3\pi/2$, $\sqrt{1-\sin^2 x}$ es positivo, pero $\cos x$ es negativo.

Así, por $\pi/2\lt x\lt 3\pi/2$, su función es en realidad $\dfrac{-\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}$.

Así que uno debe dividir la integral en $3$ partes. O bien la gráfica de su función, y ver que las áreas de$0$$\pi/2$, e $\pi/2$$\pi$, y así sucesivamente, son todos el mismo.

No es un problema técnico, en el que, en principio, la singularidad en $\pi/2$ debe ser tratado con cuidado. Pero ingenuo integración dará la respuesta correcta.