Demostrar existe $x$ tal que $f'(x)=\sin x$

Question

Que $f$ ser una función que es diferenciable en $[0, \frac{\pi}{2}]$, que $0\leq f'(x)\leq1$ % todo $x$en este intervalo. Me pide que pruebe que existe $x\in [0, \frac{\pi}{2}]$ tal que $f'(x)=\sin x$.

Creo que debo usar Teorema de Darboux, pero no hacerlo aquí.

Answer 1

Tomar el $g(x)=f(x)+\cos{x}$. Esta función es derivable en $[0,\pi/2]$. Su derivado es $g'(x)=f'(x)-\sin{x}$. Tenemos $0\leq f'(x)\leq 1$ y $-1\leq -\sin{x}\leq 0$ para $-1\leq g'(x)\leq 1$ puedes tomarlo de allí?