He estado leyendo mucho acerca de la Weierstrass $\wp$ función y entiendo la parametrización de una curva elíptica con la elíptica de la función( es decir,$x=\wp(z)$$y=\wp^\prime(z)$). Me gustaría configurar mi propia curva elíptica, pero estoy corriendo en alguna dificultad. Por ejemplo, con la curva de $y^2=x^3+2x^2−3x$, todo lo que quiero hacer es encontrar a $\wp(z)$ $\wp^\prime(z)$ algunos $z$ (debo usar $\omega_1$$\omega_2$?) y me gustaría calcular $g_2$$g_3$. Supongo que me podría haber ahorrado un poco de espacio por solo digo que quiero encontrar una parametrización entre el$y^2=x^3+2x^2−3x$$y^2=4x^3−g_2x−g_3$. Es este trivial y me estoy perdiendo algo? Sé Sabio encargaremos de encontrar, al menos, los períodos.
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Andrew
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Muy probablemente soy la incomprensión de lo que quieres hacer, pero si usted tiene $y^2=x^3+2x^2-3x$, puede utilizar la depresión sustitución de $x=t-\frac23$ para el rendimiento de la nueva cúbicos
$$y^2=t^3-\frac{13}{3}t+\frac{70}{27}$$
Con la sustitución de $t=\sqrt[3]{4}u$, tenemos
$$y^2=4u^3-\frac{13\sqrt[3]{4}}{3}u+\frac{70}{27}$$
lo que significa que tenemos la invariantes $g_2=\frac{13\sqrt[3]{4}}{3}$ $g_3=-\frac{70}{27}$ (con respecto a las nuevas coordenadas).
Como ya se ha señalado, a partir de estos invariantes, se pueden expresar los periodos en los términos de la integral elíptica completa de primera especie (ver, por ejemplo, la DLMF para la necesaria fórmulas), que es el más eficiente de los evaluados con la media aritmética-media geométrica de la iteración.
Como Brent notas en los comentarios, algunos toman la forma de Weierstrass a tiene un coeficiente de $1$ en lugar de $4$; es decir, el modelo de formulario que se parece a
$$y^2=x^3-g_2 x-g_3$$
En este caso, uno sólo realiza la depresión de sustitución, produciendo $g_2=\dfrac{13}{3}$.
Goethe
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18
Esto era demasiado largo para un comentario, pero no estoy seguro de que es realmente una respuesta ya que estoy básicamente diciendo: "no creo que esto es algo trivial"--espero que ayude, al menos un poco.
Que yo sepa esto no es trivial. En primer lugar, porque los cálculos sólo el trabajo fuera más agradable supongamos que se le da a una curva en el estándar de Weierstrass forma $y^2=4x^3-Ax-B$. Ahora, la búsqueda de $\wp$ sería trivial si usted sabía que celosía $L$ satisface $g_2(L)=A$$g_3(L)=B$. Dicho esto,la existencia de una red de trata para la surjectivity de $j$ que, al menos en la prueba que yo sé, se ha demostrado con el argumento de principio para mostrar que no puede no suponer un valor en $\mathbb{C}$.
Bien, supongamos por un segundo que esto no era demasiado duro, que en realidad eran capaces de resolver eficazmente $j(z)=c$$c\in\mathbb{C}$. Podemos encontrar $z_0$ tal que $j(z_0)=c$ donde
$$c:=1728\frac{A^3}{A^3-27B^2}$$
Esto debe verse a la derecha de si $L$ es un entramado tal que $g_2(L)=A$ $g_3(L)=B$ $j(L)$ sería exactamente $c$. Bueno, como estoy seguro que usted sabe si dejamos $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}z_0$$j(\Lambda)=j(z_0)=c$. Ahora, uno de $g_2(\Lambda)$ o $g_3(\Lambda)$ debe ser distinto de cero desde $\Delta(\Lambda)\ne 0$, vamos a suponer sin pérdida de generalidad que $g_2(\Lambda)\ne 0$ (debería ser obvio, después de lo que voy a decir, cómo proceder si es que en realidad $g_3(\Lambda)$ que es distinto de cero). Ahora, a partir de esto podemos encontrar algún factor de escala $\lambda\in\mathbb{C}$ tal que $g_2(\lambda\Lambda)=\lambda^{-4}g_2(\Lambda)=A$. Desde $\lambda\Lambda$ $\Lambda$ tienen el mismo $j$-invariante podemos resolver
$$1728\frac{g_2(\lambda L)^3}{g_2(\lambda\Lambda)^3-27g_2(\lambda\Lambda)^2}=j(\lambda\Lambda)=j(\Lambda)=1728\frac{A^3}{A^3-27B^2}$$
(usando el hecho de que $g_2(\lambda\Lambda)=A$) para conseguir que, en realidad, $g_3(\lambda\Lambda)^2=B^2$ e lo $g_3(\lambda\Lambda)=\pm B$. De cualquier manera estamos bien. Es decir, si $g_3(\lambda\Lambda)=B$ estamos hecho, y si no, entonces podemos reemplazar $\lambda\Lambda$ $i\lambda\Lambda$ y comprueba que
$$g_2(i\lambda\Lambda)=i^4g_2(\lambda\Lambda)=A$$
y
$$g_3(i\lambda \Lambda)=i^6g_3(\lambda\Lambda)=-(-B)=B$$
Así que, en cualquier caso, hemos encontrado nuestra deseada de celosía que nos permite encontrar el $\wp$.
Ahora, el punto de la anterior, es que el único obstáculo para explícita y fácilmente encontrar la celosía $\Lambda$ que $y^2=4x^3-Ax-B$ es sólo el plano de la curva asociada a $\wp_\Lambda$ es la capacidad para resolver la ecuación de $j(z)=c$. Ahora, estoy de ningún modo experto (ni de lejos!) lo suficiente como para decir que no es fácil/algorítmico manera a la solución de $j(z)=c$, pero los métodos sólo sé que aún demostrando que $j(z)=c$ son puramente existencial (como he dicho, es simplemente mostrando que $j(z)\ne c$ no puede suceder de otra manera un cierto contorno integral no salen a la derecha).
De todos modos, mientras el de arriba no es precisamente optimista, se demuestra que se puede reducir el problema a un problema acerca de si el surjectivity prueba de la $j$-invariante puede ser hecho constructivo, que (con suerte) puede ser fácilmente googleable/susceptible de búsqueda.
