$\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n \ln n}{n}$

Question

¿Cómo podemos calcular la serie $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n \ln n}{n}$?

Sé es $\eta '(1)$, donde $\eta$ $\eta$ función de Dirichlet, conozco su valor. Pero no sé cómo computarlo.

Un enfoque probé es expandir la serie, luego se reúnen junto los impares y los términos incluso, $\zeta$ (función de Riemann) y eso es todo. Entonces no hay idea.

Cualquier ideas son bienvenidas.

Answer 1

Esto se expresa en la ecuación $(8)$ de esta respuesta usando el de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma, que dice que $$ \sum_{k=1}^n\frac{\log(k)}{k}=C+\frac{\log(n)^2}{2}+O\left(\frac{\log(n)}{n}\right)\etiqueta{1} $$ para algunas constantes $C$, y que $$ \sum_{k=1}^n\frac1{k}=\log(n)+\gamma+O\left(\frac1n\right)\etiqueta{2} $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\frac{\log(k)}{k} &=2\sum_{k=1}^{n}\frac{\log(2k)}{2k} -\sum_{k=1}^{2n}\frac{\log(k)}{k}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac{\log(k)}{k}+\log(2)\sum_{k=1}^{n}\frac1{k} -\sum_{k=1}^{2n}\frac{\log(k)}{k}\\ &=C+\frac{\log(n)^2}{2}+O\left(\frac{\log(n)}{n}\right)\\ &+\log(2)\left(\log(n)+\gamma+O\left(\frac1n\right)\right)\\ &-C-\frac{\log(2n)^2}{2}-O\left(\frac{\log(2n)}{2n}\right)\\ &=\gamma\log(2)-\frac{\log(2)^2}{2}+O\left(\frac{\log(n)}{n}\right)\tag{3} \end{align} $$ Deje $n\to\infty$ $(3)$ y obtenemos $$ \sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\log(k)}{k}=\gamma\log(2)-\frac{\log(2)^2}{2}\la etiqueta{4} $$ Tenga en cuenta que no importa lo que la constante de $C$ es, como se cancela fuera de los cálculos.

Answer 2

Que $s>1$. Observe que $$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n }{n^s}=\frac{1}{2^s}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}-\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^s}\tag1$ $ y $$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{2^s}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}+\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^s}\tag2$de % $ % entonces $(1)$+ $(2)$ da $$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n }{n^s}=\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}=\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\zeta(s)\tag3$de % $ $\zeta(\cdot)$ Dónde está el Riemann Función zeta.

Ahora diferenciando $(3)$ con respecto a los $s$ da $$\displaystyle -\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n \ln n}{n^s}=\left(-\frac{\ln 2}{2^{s-1}}\right)\zeta(s)+\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\zeta'(s)\tag4$ $ y dejar $s$ tienden a $1^+$, da el resultado:

$$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n }{n}\ln n=-\frac{\ln^2 2}{2}+\gamma \ln 2\tag5$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler y donde, junto a la $s=1^+$, hemos utilizado $$\frac{1}{2^{s-1}}= 1- (s-1)\ln 2-(s-1)^2\frac{\ln^2 2}{2}+\mathcal{O}((s-1)^3)$ $ junto con el Laurent serie extensiones $$\begin{align} \zeta(s) &=\frac{1}{s-1}+\gamma+\mathcal{O}(s-1)\\\\ \zeta'(s)&=-\frac{1}{(s-1)^2}+\mathcal{O}(1).\end {Alinee el} $$