Problema de límite simple con cuadrados

Question

Estoy haciendo un curso de repaso de matemáticas pero estoy atascado con algún problema. Aunque este problema no parece difícil no sé qué estoy haciendo mal.

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x-3}-1}{2\sqrt{2}-\sqrt{x^2-3x+4}}$$

He intentado tomar el conjunto de ambas casillas pero sigo obteniendo la forma indeterminada de $\frac{0}{0}$ .

Gracias de antemano...

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\sqrt{x-3}-1=\frac{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}{\sqrt{x-3}+1}=\frac{\color{red}{x-4}}{\sqrt{x-3}+1}$$ y que $$2\sqrt 2-\sqrt{x^2-3x+4}=\frac{(2\sqrt 2-\sqrt{x^2-3x+4})(2\sqrt 2+\sqrt{x^2-3x+4})}{2\sqrt 2+\sqrt{x^2-3x+4}}$$ $$=\frac{-\color{red}{(x-4)}(x+1)}{2\sqrt 2+\sqrt{x^2-3x+4}}.$$ Por lo tanto, tenemos $$\frac{\sqrt{x-3}-1}{2\sqrt 2-\sqrt{x^2-3x+4}}=\left(\frac{\color{red}{x-4}}{\sqrt{x-3}+1}\right)\div\left(\frac{-\color{red}{(x-4)}(x+1)}{2\sqrt 2+\sqrt{x^2-3x+4}}\right)$$ $$=-\frac{2\sqrt 2+\sqrt{x^2-3x+4}}{(x+1)(\sqrt{x-3}+1)}\to -\frac{2\sqrt 2+2\sqrt 2}{5\cdot 2}=-\frac{2\sqrt 2}{5}\ \ (x\to 4).$$

Answer 2

Multiplica el numerador y el denominador por $\displaystyle (2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x-3}+1)$ :

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x-3}-1}{2\sqrt{2}-\sqrt{x^2-3x+4}}=\lim_{x \to 4} \frac{ (2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x-3}+1)(\sqrt{x-3}-1)}{(2\sqrt{2}-\sqrt{x^2-3x+4}) (2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})(\sqrt{x-3}+1)}= \\ = \lim_{x \to 4}\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})(x-3-1)}{-(x^2-3x-4)(\sqrt{x-3}-1)}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})}{-(x+1)(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}=\\=\lim_{x \to 4}\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{x^2-3x+4})}{-(x+1)(\sqrt{x-3}+1)}=\frac{-(2\sqrt{2}+2\sqrt{2})}{5(\sqrt{2}+1)}$$