Continuidad de $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ $(0,0)$

Question

Dada una función de Heaviside

$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2}, &x^2+y^2 \neq 0\\0 ,&x^2+y^2=0 \end{cases}$$

Dejando $a$ $b$ se fija constantes, muestran que para todos los valores de $a$$b$, incluyendo a $0$, la variable de funciones $g(x)=f(x,b)$ $h(y)=f(a,y)$ son ambas continuas en toda la recta real. Y cómo determinar si la función es continua en $(0,0)$.

Yo lo que hice fue: sustituto $x=b$ $y=a$ en la función de $f(x,y)$ para obtener

• $f(x,b)=\frac{2xb}{x^2+b^2}$
• $f(a,y)=\frac{2ay}{a^2+y^2}$

Pero estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. ¿Cómo debo tomar el límite de la función $f(x,y)$? ¿Cómo puedo cuidar de la $x^2+y^2 \neq 0$?

Answer 1

Para probar su (dos variables) la función es continua en $(0,0)$, usted tiene que demostrar $f(x,y)\rightarrow f(0,0)$$(x,y)\rightarrow(0,0)$, a lo largo de cualquier camino. Sin embargo, para demostrar que no es continua en a $(0,0)$, sólo tienes que encontrar un camino que no va a funcionar.

Vamos a tratar de $y=ax$,$a\neq0$$x\neq0$:

$$f(x,y)=\frac{2ax^2}{x^2+a^2x^2}=\frac{2a}{1+a^2}$$

Esta es una constante $\neq0$, así como $x\rightarrow0$, $f(x,ax)$ no convege a $f(0,0)$. Por lo tanto su función no es continua en a $(0,0)$.

---

Con respecto a la variable de funciones $g(x)=\frac{2xb}{x^2+b^2}$$h(x)=\frac{2ax}{a^2+x^2}$, es más fácil. Aquí es sólo el $h$ de los casos, el otro es simétrica:

• si $a\neq0$, entonces la función es continua como el denominador nunca se desvanece.
• si $a=0$, entonces la función es constante ($=0$) por lo que también es continua.

Answer 2

Pensar en $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$, entonces $$\begin{align} \frac{2xy}{x^2+y^2} &=\frac{2r^2\sin(\theta)\cos(\theta)}{r^2}\\ &=\sin(2\theta) \end{alinean} $ que significa importa cerca de $(0,0)$ llegar, usted puede obtener cualquier valor en $[-1,1]$.