Por qué el aprendizaje de la moderna geometría algebraica es tan complicado?

Question

Muchos estudiantes - incluido yo mismo - tiene un montón de problemas en el aprendizaje del esquema de la teoría. No creo que el obstáculo es el extremo de la abstracción de la materia, por el contrario, este es realmente el punto fuerte de la moderna geometría algebraica. Estoy leyendo muchos libros de los escritos por Hartshorne, Gortz Y Wedhorn, Liu, de Vakil (notas), Gathmann (notas), Shafarevich, Perrin y Milne (notas) y En mi humilde opinión, la learing problemas surgen a partir de las siguientes consideraciones:

1. Es esclarecedor leer acerca de "el objetivo" de la moderna geometría algebraica, por lo que me estoy refiriendo: motivaciones detrás de los esquemas, la correpondence entre algebraicas y geométricas entidades (por lo que la dualidad entre la categoría de los afín a los esquemas y la categoría de los anillos), la importancia de sheafs (de modo que el concepto de la admisible funciones) etc. Pero, a pesar de esto, cuando uno se adentra en la construcción de nuevos objetos, todos los teoremas, lemas y proposiciones son falta de detalles (que están a la izquierda para el lector). Por ejemplo, la verificación de que ciertos presheafs son gavilla, functorial propiedades de presenciales entre las categorías y los detalles acerca de los límites/colimits construcciones son a menudo ausente. Incluso si el estudiante tiene una sólida formación en álgebra y geometría, generalmente él no tiene el tiempo o la capacidad para completar todas las instrucciones. Prácticamente un curso de geometría algebraica implica que uno debe tomar muchas declaraciones como actos de fe. Me doy cuenta de que los escritores y los profesores pueden tener las mismas dificultades (especialmente la falta de tiempo) en la escritura de todos los detalles aburridos, y, además, que un libro con todas las pruebas pueden incluir miles de páginas, pero de esta manera los estudiantes son animados (leer desanimado) simplemente memorizar los resultados más importantes, sin entender realmente las construcciones. Por último, un libro o un curso caracterizado por las explicaciones y por la motivación como completar las pruebas es mucho más instructivo que un libro o un curso que cubren muchas de las avanzadas de los argumentos en mi humilde opinión.

2. En matemáticas cuando dos objetos son isomorfos, es una práctica común para "identificar". Prácticamente si $A\cong B$ pero $A$ tiene una simple descripción escribimos $A$ en lugar de $B$, pero formalmente estamos pensando en $B$. Este procedimiento es utilizado muy a menudo en la geometría algebraica, pero en algunos casos sin explicar el isomorphisms y en otros casos los dos objetos en cuestión son consideradas "realmente el mismo" incluso si esto puede provocate problemas formales (mira por ejemplo aquí). Este "abuso de las identificaciones" a menudo hacen perder de vista la esencia de lo que uno está estudiando y, una vez más el "estúpido"alumno", agotado, tiende a simplemente memorizar cosas. Señalo de nuevo que el problema no es la abstracción, pero el hecho de que la excesiva tendencia a simplificar las notaciones, a menudo conduce a inconsistencias.

3. No se le da suficiente importancia a los siguientes: el proceso de sucesivas generalizaciones, puesto en marcha por las grandes matemáticos durante la historia, que marcó el nacimiento de la moderna geometría algebraica. Este proceso es fundamental en el aprendizaje, ya que probablemente representa la forma más natural por el cual la mente humana es capaz de lidiar con el asunto.

En resumen, debido a los problemas mencionados anteriormente (principalmente los dos primeros), matemático riguroso declaraciones, increíblemente, parece ser informal tesis en los ojos del estudiante que está con ganas de formalismo.

En su opinión, ¿cuáles son las dificultades más comunes que un estudiante se encuentra en su proceso de aprendizaje de la geometría algebraica? Si mis problemas surgen precisamente de las consideraciones anteriores, me puede dar algunos consejos para resolverlos?

Answer 1

1) la geometría Algebraica es muy amplia y difícil.

Pero no se desanime: profesores y expertos sólo sé parte de ella y que se sorprendió al descubrir lo poco que se sabe fuera de su estrecho dominio de la experiencia.
Esto puede ser una fuerza: Grothendieck sólo sabía Serre el artículo de la FAC y el contenido de un par de Cartan seminarios cuando comenzó a transformar la geometría algebraica por la introducción del esquema de la teoría, de acuerdo con su impresionante visión profética.
En su correspondencia con Serre ha sido publicado por Leila Schneps y es uno de los más interesantes documentos en la historia de las matemáticas.
Su ignorancia y su genio se muestra, para nuestro mayor deleite.

2) sin Embargo, usted debe tratar de saber todo de ella.

Hay muchos enfoques para la geometría algebraica:

-Clásica en el estilo de los libros de Fulton, Harris, Hodge-Pedoe, Kendig, Reid, Seidenberg, Walker, ...
-Complejo analítica como en Grauert-Fritzsche, Griffiths-Harris, Huybrechts, Taylor, ...
-Esquema de la teoría como Bosch, Hartshorne, Görtz-Wedhorn, ... -Especialmente meritorio son los libros de la mezcla de varios puntos de vista, la mejor por lejos de ser Shafarevich, pero hay otros: Danilov-Shokurov, Perrin,...

Idealmente, usted debe aprender todos los puntos de vista.
Como escribí este es el objetivo: hay muchas horas de una vida y de saber que es imposible alcanzar esta meta imposible no deben impedir que la de intentar.
Willem van Oranje Nassau dijo muy bien:
Punto n est besoin d'espérer entreprendre pour, ni de pour réussir perséverer.
[Uno no necesita tener la esperanza de comenzar una empresa, ni una garantía de éxito para perseverar]

3) Resolver pequeños problemas en una servilleta mientras se toma un café con una amiga.

Pero en realidad los libros que usted lee no son tan importantes.
El consejo más importante que puedo dar es resolver pequeños problemas concretos, que se puede encontrar en los libros, inventar a sí mismo o lea en este sitio.
De nada sirve gastar mucho tiempo en algunas de equivalencia de categorías que implican afín esquemas siendo incapaces de mostrar un birational isomorfismo entre un suave quadric en el espacio proyectivo y un plano proyectivo.
Y para explicar por qué los dos-codimensional de la unión de dos transversales planos en $\mathbb A^4$ no puede ser definido por menos de cuatro ecuaciones, la equivalencia de dicha categoría con la de anillos conmutativos te va a llevar muy lejos ...

4) También, dibujar garabatos en que la servilleta.

Otra ayuda importante para la comprensión del esquema de la teoría es inventar convenios que le permiten dibujar esquemas así como seguir o inventar pruebas por medio de la visualización.
La mejor manera es empezar desde Mumford maravilloso bocetos en su Libro Rojo: la manera en que él dibuja espagueti-como genérico de puntos (por ejemplo) no tiene precio!
Vakil maravilloso notas son aún más gráfico : por ejemplo, explica una y otra vez como el "pelusa" en sus numerosos dibujos es la traducción visual de nociones algebraicas como nilpotents, primaria descomposición,...

La geometría ha sido por más de dos mil años el arte de razonar correctamente sobre las cifras incorrectas.
No hay ninguna razón por qué esto debe parar ahora.

5) Y por último: ¡usted puede hacerlo! Buena suerte!

Answer 2

Postscript añadido mucho más tarde: Esta respuesta se aborda la pregunta del título, pero no el más específico de las preguntas que siguen. (Ver los comentarios de abajo.) El punto es que un patrón que afecta a gran parte de la matemática pedagogía es en el trabajo aquí. Pero la gente buena en matemáticas a menudo logran no ser perjudicados por ella, en formas que dan cuenta, en forma de dificultades en el aprendizaje, hasta que lleguen algunos temas como este, donde las motivaciones a menudo aparecen sólo algún tiempo después de las definiciones, pruebas, etc. Final de la tarde postscript.

Creo que parte del problema puede ser que el deductivo aspectos de razonamiento matemático son codificados y se entiende bien, pero el inductivo no (de hecho, uno de vez en cuando ve negaciones que el último siquiera existe (en los escritos de los profesores de filosofía, creo)). Por eso, a veces las matemáticas se presenta de la siguiente manera: Aquí están las definiciones básicas. (Esa parte se hace dogmaticly.) He aquí cómo comprobamos que estos conceptos están bien definidos. Ahora vamos a presentar las pruebas de los siguientes $500000000$ teoremas:${}\ \cdots\cdots\cdots$.

Qué sería de esas definiciones? En el siglo 19, las personas observaron varios casos de lo que ahora llamamos "grupos" y, a continuación, formuló el concepto de grupo, como un conjunto con una operación binaria cumplimiento de ciertas leyes. Hoy en día es considerada lícita para comenzar una cuenta de grupo de teoría diciendo: Aquí está la definición de un grupo. De que se deduce, etc.etc.etc.etc. Esto no significa que los ejemplos no son dados; de hecho, un gran número pueden ser descritos en detalle. Pero el razonamiento a partir de ejemplos de definiciones, no es en todos los tratados de la misma manera como el razonamiento encontrado en las pruebas de los teoremas. Nadie considera que es una brecha en la lógica de omitir estas ni menos que plenamente presente en el proceso de concepto de formación.

Apéndice: El término "abuso de las identificaciones", que aparece en la pregunta anterior, es otra cosa que me hace sospechar que la lógica no ha avanzado en ciertas áreas. Sospecho que cuando pasa, uno va a ver que las cosas ahora casualmente llamada abusos son correctos. No tengo un muy buen ejemplo de este toque, pero aquí es algo similar. En algunos contextos se define la "densidad" de un conjunto $A$ de los enteros positivos como $\lim\limits_{n\to\infty}(|A\cap\{1,2,3,\ldots,n\}|)/n$. Así que, en cierto libro en algún lugar vi esta definición siguiente de una definición que dice "densidades" son números en $[0,1]$. Y por la actualidad, las normas de la lógica, que se puede decir que es incorrecto? Si todos los hombres eran esposos, a continuación, las mismas normas que se aprueban las definiciones como la de arriba diría que "el hombre" es sinónimo de "marido".

Answer 3

Si usted intenta estudiar(y aprender) la geometría Algebraica a partir de algunos libros, tales como Hartshorne del libro y etc, estos libros sería tan duro y poco satisfactorio para usted, especialmente si usted quiere ser tan exacta con todos los detalles en el aprendizaje de la geometría algebraica. No me gustan estos libros que están escritos en el campo de la geometría algebraica. Pilas proyecto es una buena fuente para el aprendizaje de la AG, pero la mejor y excelente fuente de A. Grothendieck de la serie(incluyendo EGA y, a continuación, SGA). He examinado todos estos libros para el aprendizaje de la Ag (tales como Hartshorne del libro), pero con el tiempo he aprendido casi nada de estos libros, a continuación, había que intentarlo otros libros que están escritos en el campo de la geometría algebraica, pero lamentablemente estos libros también tuvo el mismo resultado que Hartshorne del libro. En mi opinión, la única y la única manera de aprender la geometría Algebraica es Grothendieck del EGA, porque ya he examinado la mayoría de todas las otras fuentes. Para la lectura de EGA(el más precioso y rico en fuentes, no sólo en el contexto de la geometría algebraica, sino en todos los de matemáticas) en primer lugar usted necesita para aprender un poco de francés. La mejor y rápida de la fuente para leer el francés es el software de Rosetta Stone(hasta los Niveles 1 y 2 son suficientes), que el traductor de Google es muy bueno también. Mi lengua materna es el turco, aprendí el idioma francés en 5 meses desde el software de Rosetta Stone y el traductor de Google. Ahora, soy capaz de leer matemáticas fuentes (en francés) fácilmente. Ahora, estoy leyendo EGA...

Answer 4

No se preocupe si usted tiene un problema con el idioma francés en la lectura de Grothendieck del EGA (o en otros textos...); os recomiendo que intente leer Johan de Jong las Pilas Proyecto de libro. Johan las Pilas Proyecto es bastante un buen candidato para comparar con Grothendieck del EGAs (incluso para los Asg). No pierdas tu tiempo ya; iniciar la lectura de Pilas Proyecto ahora mismo! No se preocupe acerca de su longitud; una sugerencia de ruta para la lectura de este libro es la siguiente. Empezar con el capítulo 6 (poleas en los espacios); después de la lectura, a continuación, ir directamente a través del capítulo 17 (gavillas de módulos); después de la lectura de algunas partes de la Cap. 17 luego ir directamente capítulo 25 (Esquemas), a continuación, intente leer los capítulos 26, 27, 28, o que directamente vaya 29 (Cohomology de los planes); para leer el Cap. 29, cohomology de poleas (Cap. 20); ...y, a continuación, que sin duda va a encontrar su camino en la carretera. Buena Suerte!