¿Cómo "ver" a simple vista la solución al ejercicio "muestra que el $\langle (1,2,3... n),(1,2,3... m)\rangle$ contiene un ciclo de 3, si $1 < n < m$"?

Question

He probado el conmutador de los generadores y funcionó, pero no tuve ninguna justificación real para hacer ese cómputo. ¿Hay una perspectiva de tratar de que el conmutador es lo "obvio" que pensar?

Me inspiré para probar el conmutador por el siguiente ejercicio: que $x,y \in Sym(\Omega)$. Si $\Gamma = supp(x) \cap supp(y)$, entonces el $[x,y] \subseteq \Gamma \cup \Gamma^x \cup \Gamma^y$. En particular, si el $|\Gamma|= 1$, entonces $[x,y]$ es un ciclo de 3.

Esto no es exactamente el mismo, sin embargo.

Answer 1

Me gustaría tener cuidado con las afirmaciones acerca de lo que es "obvio", pero el camino se me ocurrió probar el colector fue: queremos que la mayoría de los elementos que permanecen invariantes y sólo unos pocos de ellos para ser permutados. La aplicación de los generadores $x,y$ y sus inversas, deja el "grueso" de los elementos invariables si tenemos el mismo número de $x$ $x^{-1}$ e igual número de $y$$y^{-1}$; a continuación, sólo los elementos en las "fronteras" será perturbado. Y la más simple no-trivial de productos de ese tipo es el colector.