Por casualidad publiqué sobre esto (¡una hora antes de la pregunta!) en otra respuesta:
Prueba conceptual de la reciprocidad cuadrática
La prueba es bastante fácil.
Para las plazas $r$ diferente de $p, q, 2$ y $\infty$ el símbolo local de Hilbert es $+1$ porque la forma cuadrática $x^2 -py^2 - qz^2$ tiene un rango superior a 2. Desde un punto de vista más combinatorio, sea $z=1$ y observar que los conjuntos de valores de $x^2$ y de $py^2$ tienen cardinalidad superior a $|r|/2$ para que su suma tenga que cubrir todas las posibilidades mod $r$ . Porque el grado $2$ es inferior a $r$ El levantamiento de Hensel muestra que un $r$ -se puede encontrar una solución radical a partir de un mod $r$ solución.
Los valores del símbolo local en $p$ y $q$ son, por definición, los símbolos de Legendre. (La existencia de una solución mod $p$ o $q$ es la información registrada en un símbolo de Legendre, y la elevación de Hensel de las raíces cuadradas modulares a raíces cuadradas p-ádicas siempre se puede hacer para los primos Impares).
El valor del símbolo local en $\infty$ es $+1$ porque la forma no es positiva definida ni negativa definida. O escribir una solución real particular como $y=z=1, x = \sqrt{p+q}$ .
Esto deja el valor del símbolo local en $2$ . La condición para $py^2 + qz^2$ para ser un cuadrado 2-ádico es que sea un cuadrado mod $8$ es decir, congruente con $0,1$ ou $4$ y una solución primitiva distinta de cero tiene $y$ o $z$ impar. El análisis de casos no es difícil:
- El símbolo es +1 si $p$ o $q$ es $1 \mod 8$ . Si $p=1$ existe una solución con $y=1$ y $z=0$ .
- El símbolo es +1 si $p$ o $q$ es $5 \mod 8$ . Si $p=5$ existe una solución con $y=1$ y $z=2$ .
- El símbolo es -1 si $p$ y $q$ son ambos $-1 \mod 4$ . Ambos $y$ y $z$ debe ser par en este caso.
Este patrón de signos es el mismo que el $(-1)^{(p-1)(q-1)/4}$ en la fórmula de reciprocidad cuadrática.
Por último, el producto de todos los símbolos locales es 1:
$$(1) (\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) (-1)^{(p-1)(q-1)/4} = 1$$
