$\Gamma \subset \mathbb{R}^{+}$ es incontable. Podemos elegir una secuencia de $\Gamma$ de que la suma es $\infty$

Question

¿Si $\Gamma$ es un conjunto de uncountably muchos diferentes los números reales positivos, podemos elegir una secuencia de pares diferentes números positivos de $\Gamma$, decir $\{a_n\}$, que $\sum a_n = \infty$?

Estoy pensando en ese problema y creo que la respuesta debe ser sí. Pero, ¿cuál es la forma rigurosa que lo demuestre? Por favor, Dame algunos consejos y le agradezco cualquier ayuda :-)

Answer 1

Si no es así, entonces hay solamente finito muchos elementos en $[\epsilon,\infty)$, para cualquier $\epsilon>0$ y $\Gamma = \bigcup_{n=1}^\infty \left(\Gamma\cap[1/n,\infty)\right)$ es la Unión contable de conjuntos finitos.

Answer 2

Consideremos el conjunto a $A_n\{x\in\Gamma : x>0, {1\over n+1}\le x<{1\over n}\}$ cualquiera de estos conjuntos son finitos o no lo están. Si es así, entonces hay countably muchos elementos $x\in\Gamma,\; 0<x<1$ desde el contable de la unión finita de conjuntos es contable y podemos formar la suma:

$$\sum_{x\in\Gamma,\; 0<x<1} x$$

si la suma se bifurca: grandes, hemos terminado, si no

$$\sum_{x\in\Gamma,\; 0<x<1} x <\infty=\sum_{n}\sum_{x\in A_n} x$$

Sin embargo, hay una cantidad no numerable de $x\in\Gamma$ tal que $x>1$, de modo que podemos encontrar una divergente la serie por tomar cualquier contables subcolección de que.

Esta tiene como un buen corolario: incluso si usted intenta definir la suma de innumerables conjuntos, que está seguro de que todos ellos difieren de todos modos.