Espacio de Banach reflexivo, cierre fuerte y compacto.

Question

Que $E$ y $F$ ser dos espacios de Banach y que $T \in \mathcal{L}(E, F)$. Tengo tres preguntas.

1. Asumir que $E$ es reflexiva. ¿$T(B_E)$ Está fuertemente cerrada?
2. Asumir que $E$ es reflexivo y que $T \in \mathcal{K}(E, F)$. ¿Es $T(B_E)$ compacto?
3. Que $E = F = C([0, 1])$ y $Tu(t) = \int_0^t u(s)\,ds$. ¿Es $T \in \mathcal{K}(E)$?

Answer 1

1. Sí. Deje $y$ ser un fuerte punto límite de $T(B_E)$, decir $y = \lim_{n \to \infty} T(x_n)$. Como notado por David Mitra, podemos asumir que $(x_n)_n$ débilmente onverges a un $x \in B_E$. Por lo $(T(x_n))_n$ converge débilmente a $T(x)$. Pero $(T(x_n))_{n}$ también converge débilmente a $y$, por lo tanto $y=T(x)$.
2. Sí. Se sigue de 1. y la definición de un operador compacto.
3. Sí. Se sigue de Arzelà–Ascoli teorema, debido a que las funciones son 1-Lipchitz. (tenga en cuenta que la imagen de la unidad de la bola no está cerrado).