Estoy estudiando el concepto de funtores fieles, pero no consigo entender la diferencia entre ser fiel y ser inyectivo en las flechas. ¿Podría alguien explicar la diferencia y dar algunos ejemplos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aleksandr Levchuk
Puntos
1110
Un functor que es inyectivo sobre morfismos es automáticamente fiel, por supuesto; pero pensando en los morfismos de identidad, uno ve que un functor que es inyectivo sobre morfismos debe ser también inyectivo sobre objetos.
Ejercicio. Demostrar que un functor es inyectivo sobre morfismos si y sólo si es inyectivo sobre objetos y fieles.
Una vez probada la afirmación, encontrará muchos ejemplos. Por ejemplo, si $\mathcal{P}$ es un poset considerado como una categoría, entonces el único functor $\mathcal{P} \to \mathbb{1}$ es siempre fiel y, por tanto, inyectiva en los morfismos si y sólo si es inyectiva en los objetos.
Recordemos la definición de functor fiel: Cualquier functor $$ \mathcal{F} \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$$ induce un mapa sobre conjuntos hom $$\mathcal{F}_{X,Y} \colon \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{D}(\mathcal{F}(X),\mathcal{F}(Y))$$ para cada par de objetos $X,Y$ en $\mathcal{C}$ . Entonces $\mathcal{F}$ se llama fiel si los mapas inducidos $\mathcal{F}_{X,Y}$ son inyectivas para todos los objetos $X,Y$ en $\mathcal{C}$ .
Lo crucial es observar que estamos cuantificando sobre objetos en la categoría de fuente $\mathcal{C}$ --- esto es lo que marca la diferencia entre un functor fiel y uno inyectivo sobre morfismos. Por ejemplo, consideremos la categoría de cuatro objetos $\mathcal{C}$ con $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})=\{A,B,C,D\}$ y morfismos dados por $$ \mathrm{Hom}(A,B) = \{f_i\}_{i\in\mathbb{Z}}, \\ \mathrm{Hom}(C,D) = \{g_i\}_{i\in\mathbb{Z}}$$ (y para simplificar decimos que los otros hom-sets están vacíos, excepto los morfismos de identidad en cada objeto). Si tenemos otra categoría $\mathcal{D}$ que consta de dos objetos $P,Q$ y morfismos $$ \mathrm{Hom}(P,Q) = \{h_i\}_{i\in\mathbb{Z}}$$ entonces el functor $ \mathcal{F} \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ enviando $$ A \mapsto P, \\ B \mapsto Q, \\ C \mapsto P, \\ D \mapsto Q $$ y $$ f_i \mapsto h_i, \\ g_i \mapsto h_i$$ (y morfismos de identidad a morfismos de identidad, etc.) es fiel, ya que restringiendo a cada par de objetos $X,Y$ en $\mathcal{C}$ da un mapa inyectivo en $\mathrm{Hom}(X,Y)$ . Por otro lado $\mathcal{F}$ no es inyectiva en los objetos ni en los morfismos.
Quería enfatizar el hecho de que cuantificar sobre los objetos de la categoría de origen es lo importante: si exigiéramos que un funtor fiel fuera inyectivo sobre los conjuntos hom entre cada par de objetos de la categoría de destino, acabaríamos con un funtor inyectivo sobre los morfismos.
