Condición general para que las integrales de Riemann y Lebesgue sean iguales

Question

Me gustaría saber que cuando la integral de Riemann y la integral de Lebesgue son iguales en general. Sé que una función acotada integrable de Riemann en un intervalo cerrado es integrable de Lebesgue y dos integrales son iguales.

Sin embargo, quiero saber la condición más general posible para que dos integrales sean iguales. Por ejemplo, en términos de integrales impropias, funciones no acotadas y espacio R^n.

Cualquier respuesta sería útil. Gracias.

Answer 1

Aunque esto no satisface plenamente todas tus peticiones, creo que será útil enunciar un teorema que aparece de alguna forma similar en el Análisis Real de Folland (creo que 2.28, aunque puedo estar equivocado):

Teorema: Supongamos que $f:[a,b] \to \Bbb{R}$ está acotado. Entonces:

1) Si $f$ si es integrable de Riemann, entonces $f$ es medible por Lebesgue y la integral de Riemann $\int_a^b f(x) \, dx$ es igual a la integral de Lebesgue $\int_{[a,b]} f \, d\mu$ (donde $\mu$ es la medida de Lebesgue).

2) Más adelante $f$ es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto de discontinuidades de $f$ es un $\mu$ -Sistema nulo.

Teorema final

Permítanme hacer otra observación sobre una diferencia en la integración de Riemann y Lebesgue desde el punto de vista geométrico. Si te fijas, la integral de Lebesgue $\int_{[a,b]} f \, d\mu$ no tiene "orientación" con respecto al intervalo $[a,b]$ mientras que la integral de Riemann $\int_a^b f(x)\,dx$ lo interpretamos como "la integral de $f$ de $a$ a $b$ " y, de hecho, tenemos $\int_a^b = - \int_b^a$ para las integrales de Riemann. Para investigar más a fondo este punto, sugeriría buscar en la geometría diferencial; en este contexto $dx$ desempeñaría el papel de la "forma de volumen de Riemann" en $\Bbb{R}$ que depende de esta orientación, mientras que $d\mu$ es una medida honesta y no requiere orientación.

Answer 2

Las funciones integrables de Riemann son un subconjunto de las funciones superiores $\mathscr L^+(I)$ aquellas funciones que son un límite creciente a.e. en $I$ de una secuencia de funciones escalonadas, por lo que suele ser un subconjunto propio de las funciones integrables de Lebesgue $\mathscr L(I)=\mathscr L^+(I)-\mathscr L^+(I)$ . Es decir, siempre que $f$ es integrable en Riemann sobre $I$ también es integrable de Lebesgue, y las integrales coinciden, pero hay funciones que son integrables de Lebesgue pero no de Riemann.

Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que el La integral de Riemann es sólo definido para bloques en $\Bbb R^n$ es decir, aquellos subconjuntos compactos acotados que son productos de intervalos $[a,b]$ y podemos extender la definición hasta conjuntos medibles de Jordan, sin embargo se puede definir la integral de Lebesgue de una función sobre cualquier subconjunto medible de Lebesgue de su espacio. De nuevo, un conjunto medible de Jordan es medible de Lebesgue, pero hay conjuntos medibles de Lebesgue que no son medibles de Jordan.

Como contrapartida, las funciones positivas impropias de Riemann integrables son Lebesgue integrable, pero hay funciones impropias de Riemann integrables que no son Lebesgue integrables. El (contra)ejemplo habitual es $x\mapsto x^{-1}\sin x$ en $I=\Bbb R$ .

Answer 3

Tu afirmación sobre "una función integrable de Riemann acotada" es correcta, pero no necesitas la parte "acotada": una función no acotada no puede ser integrable de Riemann. Puede tener una integral de Riemann impropia, pero eso es otra cosa.

El criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann: Una función en un intervalo acotado $I$ es integrable de Riemann si y sólo si es

1. limitado, y
2. continua en casi todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue $0$ ).