Teorema de Binomal muestran que $\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots=2^{n-1}$

Question

Estoy teniendo algunos problemas con esta pregunta

Mostrar que %#% $ #%

Tentativa:

Expandir $$\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots=2^{n-1}$ % $ $(1+1)^n=2^n$

Expandir $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}+\binom{n}{4}+\dots+\binom{n}{n}=2^n$ % $ $(1-1)^n=0$

Y estoy atrapado aquí. La solución dice "Suma estas dos igualdades da una necesaria".

Puedo ver cómo se anulan los términos, sin embargo no veo cómo $$\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3}+\binom{n}{4}+\dots+(-1)^n\binom{n}{n}=0$

Answer 1

Agregar ambas igualdades que tiene:

$$2\left(\binom n0+\binom n2+\ldots\right)=2^n+0$$

y ahora divida entre dos. Por último, observe la simetría entre coeficientes binómicos $\;\binom nk\;$ % incluso $\;k\;$y con impar $\;k\;$

Answer 2

También puede restar ecuación 2) de 1) para obtener la segunda parte.