Cuando a aprender categoría de teoría?

Question

Soy un estudiante que quiere aprender categoría de teoría, pero sólo tengo conocimientos básicos de álgebra lineal y la teoría de conjuntos, también he tenido un curso corto sobre la teoría de los números que utilizan algunos conceptos básicos acerca de los grupos y la aritmética modular. Es demasiado temprano para empezar a aprender categoría de teoría? debo esperar para tomar un curso de álgebra abstracta?

Es muy importante el uso de la categoría de la teoría de los hechos en un primer curso de teoría de grupo, anillo de la teoría de campos y la teoría de Galois, módulos y tensor de productos (cada uno de ellos es un curso de un semestre), que hacen un 'mejor' curso?

Yo no estaba seguro de aprender categoría de la teoría de los principios, pero este post Matemático asignaturas que desea que has aprendido anteriormente me inspiró a solicitar dado mis antecedentes.

Answer 1

Por suerte, en estos días hay un hermoso texto que enseña álgebra y la categoría de la teoría al mismo tiempo: Aluffi - Capítulo 0. Merece ser más conocido. Además del hecho de que utiliza (básico) lenguaje de categoría desde el principio, está muy bien escrito. Si alguna vez podría enseñar un curso de álgebra, esto sería, probablemente, el texto que yo usaría.

Answer 2

Traté de leer Mac Lane clásico de las Categorías para el trabajo matemático en el verano después de haber terminado el primer año. Que no vaya muy bien, y no aprendí mucho. Sospecho que la razón era que los ejemplos son demasiado inaccesibles en esa etapa. Por otro lado, me hizo entender Lawvere y Rosebrugh de Conjuntos para las Matemáticas en ese momento, pero de nuevo la falta de ejemplos significaba que yo no apreciar el significado y la elegancia de categorification.

Yo recomendaría no categoría de aprendizaje teoría hasta que he visto suficientes ejemplos concretos para ser capaz de motivar a su estudio correctamente - al menos un curso en teoría de grupos, uno en álgebra lineal, y uno en el punto general de conjunto de la topología. Generalizada resumen tonterías se aprecia mejor cuando te das cuenta, por ejemplo, que el producto Cartesiano de conjuntos, el producto directo de los grupos, el producto directo de los espacios vectoriales y el producto de la topología de todas cumplen la misma característica universal: Dados dos objetos de $A$$B$, su producto es un objeto $A \times B$ junto con un par de flechas (estructura de la preservación de los mapas) $p_1 : A \times B \to A$, $p_2 : A \times B \to B$ que son universales, en el sentido de que para cualquier par de flechas $f: X \to A$, $g: X \to B$, no hay una única flecha $(f, g): X \to A \times B$ tal que $p_1 \circ (f, g) = f$$p_2 \circ (f, g) = g$.

Por otro lado, la categoría de aprendizaje teoría también puede conducir a algunas ideas: por ejemplo, es un hecho notable que en la categoría de espacios vectoriales, la suma directa de un número finito de espacios vectoriales es el mismo como el producto directo de ellos. Esta es una misteriosa casualidad, ya que en las otras categorías que están familiarizados con, las construcciones correspondientes a la suma directa y producto directo son distintos y, en general, no es el mismo. Esto, junto con algunos otros hechos, debe convencer de que algo especial y muy agradable que está pasando en álgebra lineal.

Answer 3

Estoy muy a menudo encontrar un poco de conocimiento de la categoría de la teoría útil para entender las cosas conceptualmente.

Un libro en el que se podía leer antes de estudiar matemáticas en la universidad es Lawvere y de Schanuel del Conceptual de las matemáticas. Esta es una introducción a la categoría de teoría de las ideas en un mayor nivel de educación primaria.

Edit: hace dos días, apareció un muy interesante libro de David I. Spivak en el arxiv llama Categoría de la teoría de los científicos.

Answer 4

Ya he respondido a una pregunta similar en MathOverflow aquí.

Aquí están algunas ideas de la mina:

categoría de la teoría (visto como un lenguaje) no debe ser enseñado sólo en los cursos avanzados, pero que debe ser desarrollada en los fundamentos de los cursos, de una manera muy gradual;

algunos conceptos elementales son tan simples que también un estudiante de primer año puede entender, si estos conceptos se presentan de la manera correcta: por ejemplo, usted puede ver una categoría así como un gráfico con las operaciones y los functors como gráfico de morfismos la preservación de las operaciones (esta definición no es más complejo o abstracto, a continuación, grupo-grupo de homomorphism y espacio vectorial lineal mapa definiciones; porque estos conceptos son tan simples de manera que no se introducen en una etapa temprana?

categoría de aprendizaje teoría ayuda a hacer conexiones entre diferentes conceptos, porque es una muestra de la profunda unidad en matemáticas;

categoría de la teoría es, ante todo, un idioma, y se nos da una nueva forma de razonamiento; esta nueva forma de razonamiento requiere un cierto tiempo para ser totalmente asimilados, y esta asimilación puede requerir años; por esta razón creo que es mejor empezar a aprender categoría pronto;

tener la categoría de teoría ayuda a aprender nuevas matemáticas: por ejemplo, he aprendido categoría de teoría por mi interés en la lógica y fundamentos, y después de conocer los conceptos ayudó a entender las construcciones en topología algebraica y la geometría algebraica rápido de lo que yo hubiera hecho sin ella;

Otras cosas se pueden encontrar en el enlace de arriba.

Answer 5

Haciéndose eco de un poco de user1728 y Sean comentarios, Categoría de la Teoría es un maravilloso lenguaje común que une un montón de ideas y hace ciertas cosas mucho más fácil, pero es bastante duro va a aprender en el resumen.

Tuve la suerte de que el profesor que enseña Álgebra Abstracta en la Universidad Nacional de México cuando la llevé hizo un montón de pruebas como si fueran de la categoría de teoría, pero sin llegar a decir de la Categoría de "Teoría". Así lo demostró que el producto de grupos universal de la propiedad de un producto, y la singularidad de hasta un único isomorfismo, y así sucesivamente, con diagramas; hizo lo mismo con los anillos. Etc. Al finalizar el curso, fue mencionar que todas estas ideas eran casos especiales de una teoría general llamado de la Categoría de "Teoría". Y así sucesivamente.

Por el momento en que llegué a un curso en la Categoría de Teoría, tenía toda una biblioteca de mental ejemplos para dibujar a la hora de buscar en todos los diferentes conceptos, amplificado con algunos de los menos algebraicas con sabor ejemplos (tales como la consideración de un conjunto parcialmente ordenado como una categoría, etc) que el profesor de ese curso dio. Con eso en la mano, el primer par de capítulos de Mac Lane del libro se hizo más fácil de digerir y entender, y su uso en otros lugares.

Por supuesto, esto puede inclinación mi punto de vista; yo tiendo a la Categoría de vista de la Teoría más, como un lenguaje unificador de un tema en particular (de la que yo al menos algo mal, si no más). Pero sospecho que va a ser capaz de entrar en, y obtener mucho más de, de la Categoría de Teoría, si usted tiene la biblioteca de ejemplos a mano.

Por supuesto, como he dicho, tuve la suerte: estaba preparado para la Categoría de la Teoría con ejemplos, que eran básicamente la Categoría de Teoría, sin que lo diga. No podrá beneficiarse de eso. Aún así, creo que la espera hasta que estudiar algo de álgebra abstracta y ver algunas de estas construcciones en la acción podría ser una buena idea.