manera óptima para aproximar la derivada segunda

Question

Supongamos que hay una función $f: \mathbb R\to \mathbb R$ y sólo conocemos $f(0),f(h),f'(h),f(2h)$ $h>0$. y no podemos saber el valor de $f$ con $100$% exactitud en cualquier otro punto.

¿Cuál es la forma óptima de aproximan $f''(0)$ con los datos?

Yo diría que $f''(0)=\frac{f'(h)-f'(0)}{h}+O(h)$ y $f'(0)=\frac{f(h)-f(0)}{h}+O(h)$, por lo tanto obtenemos

$$f''(0)=\frac{f'(h)-\frac{f(h)-f(0)}{h}}{h}+O(h)$$

Pero eso no puede ser la forma óptima ya que sabemos que $f(2h)$ y no utilizarlo en absoluto.

¿Alguien podría arrojar algo de luz?

Answer 1

Digamos que $$y_k=\{f(0),f(h),f'(h),f(2h)\}$$ se da y $$x_k=\{f(0),f'(0),f''(0),f'''(0)\}$$ son desconocidos. El teorema de Taylor da una manera de escribir de cada $y_k$ como una combinación lineal de $x_j$'s, dejando de lado todos los términos que empiezan con $f^{(4)}(0)$. Por ejemplo: $$f(2h)=f(0)+f'(0)(2h)+\frac12f''(0)(2h)^2+\frac16f'''(0)(2h)^3. $$

Por el contrario, vamos a $y=Ax$ ser el lineal de ecuaciones que relacionen $y$'s y $x$'s. Estas son las cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas. Para encontrar la solución $x_2=f''(0)$ en términos de $y$'s sólo resolver el sistema de ecuaciones lineales para $x$. Para encontrar la forma exacta de la aproximación es, calcular la expansión de Taylor de $y$'s de orden superior y sustituir en la expresión de $x_2$. La respuesta siempre va a tener la forma $$ f''(0) = \alpha_1 y_1+\cdots+\alpha_4 y_4 + \Theta(h^m), $$ donde $m$ es el orden de la aproximación.

Esta aproximación es "mejor" en el sentido de que es el de orden más alto aproximación posible (en este caso $x_2 = f"(0) + O(h^2)$) con los datos dados. Esta es también la forma en que todos los estándar de la diferencia finita de fórmulas se derivan.

Answer 2

Creo que la respuesta es algo a lo largo de las líneas de: % $ $$f''(x) \approx \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$x=0$, esto se convierte en: $$f''(0) \approx \frac{f(2h)-2f(h)+f(0)}{h^2}$ $

Fuente: Wikipedia diferencias finitas.

Answer 3

Debido a que sólo tiene cuatro piezas de información - su diferencia finita esquema es esencialmente la colocación de una cúbicos. Además, debido a que la mayoría de la información se centra en torno a $x=h$ me gustaría crear la interpolación polinómica alrededor de ese punto y en forma con la información a la mano: $$f(h+\delta) \approx a_0 + a_1\delta + a_2\delta^2 + a_3\delta^3 +O(\delta^4)$$ a continuación, la aplicación de la información que se les da: $$f(0) = a_0 - a_1h + a_2h^2 - a_3h^3\\ f(h) = a_0\\ f(2h) = a_0 + a_1h + a_2h^2 + a_3h^3\\ f'(h) = a_1\\ $$

lo que da un sistema de ecuaciones: $$ \begin{pmatrix} 1 & -h & h^2 & -h^3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & h & h^2 & h^3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(0)\\f(h)\\f(2h)\\f'(h)\end{pmatrix} $$

después de la resolución de la $a_k$ (realmente hay sólo dos incógnitas aquí)

Puedo conseguir $$a_2 = \frac{f(0)-2f(h)+f(2h)}{2h^2}$$ y $$a_3 = \frac{f(2h)-2f'(h)h - f(0)}{2h^3}$$

a continuación, puede simplemente calcular $f''(0) = 2a_2 - 6a_3 h$.

Esta solución ayudará a minimizar la energía del error.