El % integral $\int\frac{2(2y^2+1)}{(y^2+1)^{0.5}} dy$

Question

Qué es $$\int\frac{2(2y^2+1)}{(y^2+1)^{0.5}} dy?$$ I split it as $\frac{y^{2}} {(y ^ 2 + 1) ^ {0,5}} + \sqrt{y^2+1}.$ Now I substituted $y^{2}=u $ thus $2y\,dy=du$ so we get $0.5 \sqrt{\frac{u}{u + 1}} 0,5 \sqrt{\frac{1 + u}{u}}$ but now what to do? Another idea was doing $+1-1$ in original question but that too doesn't lead anywhere. Now $y=\tan{x} $ como se sugiere a continuación es una manera fácil pero estoy buscando de una manera puramente algebraica. Gracias.

Answer 1

Vamos a utilizar la sustitución de $y = \sinh t$ (el seno hiperbólico de la función). A continuación,$\Bbb d y = \cosh t \ \Bbb d t$, por lo que teniendo en cuenta las identidades trigonométricas hiperbólicas $\cosh^2 t- \sinh^2 t = 1$$2 \sinh^2 t = \cosh 2t - 1$, y el hecho de que $\cosh t > 0 \ \forall t$, la integral se convierte en

$$2 \int \frac {2 \sinh^2 t + 1} {\cosh t} \cosh t \ \Bbb d t = 2 \int \cosh 2t \ \Bbb d t = \sinh 2t + C = 2 \sinh t \cosh t + C.$$

Desde $t = \text{arcsinh } y$, le sigue a venir para arriba con un buen resultado para $\cosh \text{arcsinh } y$. Pero

$$\cosh \text{arcsinh } y = \sqrt{1 + \sinh^2 \text{arcsinh } y} = \sqrt {1 + y^2} ,$$

así que su integral es $2 y \sqrt {1 + y^2} + C$ donde $C$ es arbitraria integración constante.

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(Ahora si que nadie le pide que lo hiperbólico la trigonometría es buena, puede que la respuesta que te permite calcular las integrales, al menos.)

Answer 2

Que $\displaystyle y=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right),\;dy=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$,

para que $\displaystyle\sqrt{y^2+1}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right),\;\;t=y+\sqrt{y^2+1},\;\;\frac{1}{t}=\sqrt{y^2+1}-y.$

Entonces $\displaystyle\int \frac{2 (2y^2+1)}{(y^2+1)^{0.5}} dy=2\int\frac{\frac{1}{2}\left(t^2-2+\frac{1}{t^2}\right)+1}{\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt$

$\displaystyle=2\int\frac{t^2+\frac{1}{t^2}}{t+\frac{1}{t}}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dt=\int\frac{t^4+1}{t(t^2+1)}\cdot\frac{t^2+1}{t^2}dt$

$\displaystyle=\int\frac{t^4+1}{t^3}dt=\int\left(t+t^{-3}\right)dt=\frac{1}{2}\left(t^2-\frac{1}{t^2}\right)+C=\frac{1}{2}\left(\big(t-\frac{1}{t}\big)\big(t+\frac{1}{t}\big)\right)+C$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\big(2y\big)\big(2\sqrt{y^2+1}\big)\right)+C=\color{blue}{2y\sqrt{y^2+1}+C}$

Answer 3

$\displaystyle\int\frac{4y^2+2}{\sqrt{y^2+1}}dy=\int\frac{2y^2+2}{\sqrt{y^2+1}}dy+\int\frac{2y^2}{\sqrt{y^2+1}}dy=2\int\sqrt{y^2+1}dy+\int\frac{2y^2}{\sqrt{y^2+1}}dy.$

Ahora uso $\displaystyle u=2y,\;dv=\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}dy\;$ % que $\;du=2dy,\;v=\sqrt{y^2+1}$en la 2da integral para obtener

$\displaystyle2\int\sqrt{y^2+1}dy+2y\sqrt{y^2+1}-2\int\sqrt{y^2+1}dy=\color{red}{2y\sqrt{y^2+1}+C}$

Answer 4

Esto probablemente puede ser reducido ligeramente, pero es lo que he conseguido hasta ahora. Para el registro, no estoy seguro de por qué usted quiere evitar trigonométricas sustitución, pero es un reto interesante de todos modos.

Si usamos la sustitución de $u=\sqrt{y^2+1}$

Tenemos que para nuestros integral:

$$\begin{align} I&=\int{\frac{2(2y^2+1)}{\sqrt{y^2+1}}}\mathrm{d}y \\ &=\pm \int{\frac{2(2u^2-1)}{u}\cdot\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}}\mathrm{d}u \\ &=\pm 2\int{\frac{2u^2-1}{\sqrt{u^2-1}}}\mathrm{d}u \\ |I|&= 2\int{\frac{2u^2}{\sqrt{u^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}}\mathrm{d}u \\ &= 2\int{\frac{2u^2}{\sqrt{u^2-1}}\mathrm{d}u-2\int\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}}\mathrm{d}u \end{align}$$

Nosotros ahora nos preparamos $J=\int\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\mathrm{d}u$ e integrar por partes:

$$\begin{align} |I|&=2\int\frac{2u^2}{\sqrt{u^2-1}}\mathrm{d}u-2J \\ &= 4u^2J - 2\int\left(J\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(2u^2)\right)\mathrm{d}u-2J \\ &= 2(2u^2-1)J - 8\int Ju\,\mathrm{d}u\end{align}$$

E integrar por partes de nuevo:

$$\begin{align} |I|&= 2(2u^2-1)J - 8\left[u\int J \mathrm{d}u - \iint J\,\mathrm{d}u\mathrm{d}u\right] \\ &= 2(2u^2-1)J - 8u\int J \mathrm{d}u +8 \iint J\,\mathrm{d}u\mathrm{d}u\end{align}$$

Ahora vamos a utilizar Andre Nicolás' como respuesta a Cómo integrar la $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ por medio de la sustitución? para mostrar que $J$ puede ser integrado con la sustitución de $x=\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$ desde $\int J\mathrm{d}u=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$ con la sustitución de $ix=u$ donde $i=\sqrt{-1}$.

Así que podemos decir que $J=\ln\left(\sqrt{u^2-1}+u\right)+C_1$ y luego, de nuevo por partes encontramos con que:

$$\begin{align} \int J \mathrm{d}u&=C_2 u+C_3-\sqrt{u^2-1}+u \ln(\sqrt{u^2-1}+u) \\ & = C_2u+C_3 - \sqrt{u^2-1}+uJ \end{align} $$

Donde todos los $C_i$ son constantes arbitrarias.

y: $$\begin{align}\iint J \mathrm{d}u\mathrm{d}u &= C_4 u^2+C_5 u+C_6+\frac{1}{4}\left((2 u^2+1) \ln(\sqrt{u^2-1}+u)-3u\sqrt{u^2-1}\right) \\ &= C_4 u^2+C_5 u+C_6+\frac{1}{4}\left((2 u^2+1) J-3u\sqrt{u^2-1}\right) \end{align}$$

Lo que nos da una respuesta final: $$\begin{align}|I|&=2(2u^2-1)J+C_1 \\ &\quad-8u(C_2 u+C_3-\sqrt{u^2-1}+u J) \\ &\quad+8(C_4 u^2+C_5 u+C_6+\frac{1}{4}\left((2 u^2+1) J-3u\sqrt{u^2-1}\right)) \\ &=2J\left[(2u^2-1)-4u^2+(2u^2+1)\right] \\ &\quad+2(4u-3u)\sqrt{u^2-1} \\ &\quad+2(4C_4-4C_2)u^2 \\ &\quad+2(4C_5-4C_3)u \\ &\quad+2(C_1-4C_6) \\ &=2u\sqrt{u^2-1}+C_7u^2+C_8u+C_9 \end{align}$$

Sustituimos $y$ back en $y=\sqrt{u^2-1}$

$$\begin{align}I&=2y\sqrt{1+y^2}+C_7(1+y^2)+C_8\sqrt{1+y^2}+C_9 \\ &=(C_8+2y)\sqrt{1+y^2}+C_7y^2+C_{11}y+C_{10} \end{align}$$

Ahora si ponemos todas las constantes como igual a $0$, obtenemos:

$$I=2y\sqrt{1+y^2}$$

Así que esta solución está de acuerdo con WolframAlpha y la otra respuesta publicado por Alex M. pero no utiliza ninguna trigonométricas o hiperbólico sustituciones.

Dejarme un comentario si usted encuentra un error o pasos que pueden ser acortados.