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No es hiperbólico de Baumslag-Solitar $B(1,2)$

Tengo una pregunta que me pide para mostrar que el Baumslag–Solitar $B(1,2)$ no es hiperbólico considerando su grafo de Cayley y mostrando que los triángulos pueden ser arbitrariamente de grasa.

El Cayley gráfico se puede encontrar aquí.

Mi idea es coger dos puntos arbitrariamente lejos a la derecha en el gráfico y elija dos puntos que son k-distancia a la que luego "subir un nivel" y recoger dos vértices no.

Entonces mi geodésica triángulo un lado que puede ser k+1 grande, pero los otros 2 serán a corto plazo (sólo de longitud 1) por lo tanto, por el aumento de k solo puedo aumentar la grasa de mi triángulo.

Es este el enfoque correcto y ¿alguien puede ayudarme a hacerlo más preciso?

Gracias por la ayuda

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tariqsheikh Puntos 58

Su método no va a funcionar, no es posible que un triángulo tiene dos lados de longitud 1 y uno de los laterales de gran longitud, ya que es una violación de la desigualdad de triángulo.

En lugar de lo que puede hacer (refiriéndose a la misma imagen) es tomar un punto de $x$ sobre el borde superior izquierdo, y tomar dos puntos de $y,y'$ sobre el borde superior derecho, de modo que la distancia entre el $y,y'$ es pequeña, tan pequeña como $1$. A continuación, construir dos geodesics $xy$, $xy'$: cada uno de ellos comienza a partir de $x$, luego se va hacia abajo en la imagen, luego se vuelve de nuevo hacia arriba en el nivel más bajo. La geodésica $xy$ vuelve hacia arriba en un punto de $z$ en el nivel más bajo, y la geodésica $xy'$ vuelve hacia arriba en un punto de $z'$ también en el mismo nivel más bajo. El truco es ver que $xy$, $xy'$ puede ser elegido de modo que la distancia entre el $z,z'$ es grande. Luego de hacer el triángulo engordando y engordando, elija $x$ más arriba a la izquierda, y elija $y,y'$ más arriba a la derecha.

Que es una especie de vago, pero si usted puede averiguar la imagen que estoy tratando de transmitir, utilizando mucho menos que mil palabras, entonces debe convertirse rápidamente en claro.

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