¿Puede ser continua una función con un solo punto en su dominio?

Question

Por ejemplo, si mi función es $f:\{1\}\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(1)=1$ .

Tengo el siguiente contexto:

1) Según la definición dada en el libro de Spivak y también en la wikipedia, ya que $\lim_{x\to1}f$ no existe porque $1$ no es un punto de acumulación, entonces la función no es continua en $1$ (De lo contrario, debería ser $\lim_{x\to 1}f=f(1)$ ).

2) Según esta respuesta Por lo que puedo entender, una función es continua en un punto aislado.

No lo entiendo.

Editar:

• Definición de límite de Spivak: La función $f$ enfoques para $l$ cerca de $a$ significa $\forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \; [0<|x-a|<\delta\implies |f(x)-l|<\epsilon]$

• La definición de continuidad de Spivak: La función $f$ es continua en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

Answer 1

Basándome en las definiciones que dio Spivak, sospecho que (como se discute en los comentarios) su definición de continuidad se basa en la suposición de que estamos tratando con funciones definidas en todas partes, o al menos con dominios sin puntos aislados. Su definición se rompe (de forma grave) con funciones como la tuya.

Una definición relacionada (pero más general) dada para la continuidad en un punto $a$ del dominio de una función $f$ es algo así como $$\forall\epsilon>0\:\exists\delta>0\:\forall x\in\operatorname{dom}f\:\bigl[|x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\epsilon\bigr]$$ Esto es probadamente equivalente a:

(i) $x$ está aislado en $\operatorname{dom}f$ o

(ii) $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname{dom}(f)$ y $\lim_{y\to x}f(y)=f(x)$ .

La clave de la prueba es que para un punto de acumulación $a$ de $\operatorname{dom}f,$ decimos $\lim_{x\to a}f(x)=l$ si $$\forall\epsilon>0\:\exists\delta>0\:\forall x\in\operatorname{dom}f\:\bigl[\color{red}{0<}|x-a|<\delta\implies |f(x)-l|<\epsilon\bigr]$$ Tenga en cuenta que esta definición también varía sutilmente y críticamente de Spivak.

Answer 2

Todo este lío proviene de la desafortunada definición de continuidad adoptada por muchos autores. Yo diría que la continuidad es el concepto principal y $\lim$ es una medida de gestión de excepciones. A efectos del análisis elemental, una función $f$ es continuo en $a$ si para cualquier $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ siempre que $|x-a|<\delta$ . Esto le da la "regla de la cadena para la continuidad" de forma gratuita, mientras que la definición de la continuidad a través de los límites obliga a un análisis de casos.

Answer 3

Si toma $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ para ser la definición de continuidad, y si lo que queremos decir con el límite es que para todo $\epsilon >0$ hay un $\delta >0$ tal que $x\in D$ , $D$ el dominio de $f$ y $0<|x-a|<\delta$ tenemos $|f(a)-f(x)|<\epsilon$ entonces sí, el límite está mal definido.

Si, por el contrario, se considera que la continuidad es para todos $\epsilon >0$ hay un $\delta>0$ tal que $x\in D$ y $|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ entonces tenemos claramente continuidad en un dominio de un punto.

EDIT: No sé si estás al tanto de mucha topología, pero se puede demostrar usando la definición apropiada de continuidad que es equivalente a lo siguiente: Una función $f:A\rightarrow R$ es continua si para todos los conjuntos abiertos $U \subseteq R$ la preimagen $f^{-1}(U)\subseteq A$ es abierto con respecto a la topología en $A$ .

Supongamos que empezamos con esta definición. Si tomamos la topología inducida habitual sobre un conjunto de puntos único $A=\{a\}$ Entonces, por supuesto $A$ está abierto. Así, $f^{-1}(U)$ es el conjunto vacío o $A$ para cualquier conjunto abierto $U$ . A continuación, la continuidad.

Answer 4

También se puede considerar la definición general y topológica de continuidad en términos de conjuntos abiertos, a saber, $f$ es continua significa que para todo conjunto abierto $O$ de $\mathbb R$ , $f^{-1}(O)$ es un abierto de $\{1\}$ . Desde $f^{-1}(O)$ es $\emptyset$ o $\{1\}$ y ambos son conjuntos abiertos (para la topología en $\{1\}$ ), $f$ es continua.

Answer 5

En el texto de Cálculo Avanzado de C.H. Edward un punto de un conjunto $S$ que está contenido en el centro de alguna bola abierta que no contiene ningún otro punto en $S$ se llama punto aislado . La definición de las funciones continuas incluye un comentario que dice que las funciones se consideran continuas en los puntos aislados por defecto. Por supuesto, técnicamente, los puntos aislados no son puntos límite, por lo que este caso se perderá en algún otro discurso. Un buen resultado de esta convención es que las funciones con dominio discreto son por defecto continuas. Por ejemplo, las secuencias son continuas.