En la Wikipedia, he visto una buena prueba de Zagier para la existencia de representaciones de los números primos como suma de dos cuadrados:
La prueba utiliza la (trivial) el hecho de que el número de puntos fijos de una involución de un conjunto finito tiene la misma paridad que la cardinalidad del conjunto en sí.
¿Conoces otros ejemplos para la existencia de pruebas usando la paridad de puntos fijos de involuciones?
Una más general, el hecho es que el número de puntos fijos de la acción de un número finito de $p$-grupo sobre un conjunto finito tiene la misma cardinalidad $\bmod p$ como el conjunto en sí. Esto se utiliza, por ejemplo, para demostrar que finito $p$-grupos han trivial centro y también es parte de la prueba de los teoremas de Sylow.
Aunque no es una existencia de la prueba, puede también ser utilizado para dar una breve prueba de Fermat poco teorema: dado un entero positivo $a$, considere la posibilidad de la acción de la $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ por permutación cíclica en el conjunto de palabras de longitud $p$ sobre un alfabeto de tamaño $a$. Hay $a$ puntos fijos y $a^p$ palabras, por lo tanto $a^p \equiv a \bmod p$.
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