inyectiva $R$ -homomorfismo de módulo vs. homomorfismo de anillo inyectivo

Question

La siguiente pregunta lleva meses rondando mi cabeza.

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo no nulo con $1$ . Considere $\phi : R^n \rightarrow R^m$ ,

1) como un inyectivo $R$ -homomorfismo de módulo.

2) como un homomorfismo de anillo inyectivo. (por definición $\phi(1)=1$ .)

En cuál de los casos anteriores podemos deducir que $n \leq m$ y por qué?

Answer 1

Dejemos que $R = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (infinitas veces). Entonces, como anillo $R^m = R^n = R$ $\forall m, n \in \mathbb{N}$ . Así que la respuesta es negativa en el caso 2. Pero en el primer caso la respuesta es SI. Pero la prueba para un anillo conmutativo general es complicada. Aquí estoy dando una prueba fácil asumiendo $R$ es un anillo noetheriano conmutativo. Después de localizar en un ideal primo mínimo podemos suponer que $R$ es un anillo local de dimensión cero, es decir, un anillo artiniano y $\phi : R^n \rightarrow R^m$ es un inyectivo $R$ homomorfismo de módulo. Ahora la longitud de $R$ como $R$ es finito y es igual a $l$ (digamos). Entonces comparando la longitud de ambos lados tenemos $ln \leq lm$ . Esto significa que $n \leq m$

Answer 2

Dejemos que $S$ sea su anillo conmutativo favorito no nulo con $1$ y que $R$ sea el producto de un número contable de copias de $S$ . Entonces $R^n$ es el producto de un número contable de copias de $S$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ ya que la unión de conjuntos finitamente contables de conjuntos contables. Por lo tanto $R^n$ y $R^m$ son isomorfos como anillos para todo $m,n\in\mathbb{N}$ por lo que sin más suposiciones no podemos deducir $n\leq m$ por si acaso $(2)$ .

EDIT: Originalmente había escrito que este argumento también se aplica en caso $(1)$ pero no es así; véanse los comentarios más abajo.