¿Cuál es la relación entre la 2 º forma Fundamental y curvatura gaussiana?

Question

Estoy buscando en la prueba de este Lema:

Si $S \subset \mathbb{R}^3$ es regular y compacta orientable de la superficie, a continuación, $S$ tiene una elíptica punto.

La prueba concluye con afirmando que desde $II_p$ tiene un signo fijo, entonces eso implica que la Curvatura de Gauss de $p$ $S$ es positivo.

Estoy teniendo problemas para ver por qué esto es así. Sé que tanto la 2ª fundamental de la forma y la curvatura Gaussiana involucra $dN_p$, pero uno es un producto Interior, y el otro es determinante. También sé que el prinicpal curvaturas son los autovalores de a $dN_p$, pero no puedo ver cómo están relacionadas de manera más explícita.

Realmente agradecería un poco de ayuda es el desarrollo de una mejor comprensión de este. Gracias!

Answer 1

La curvatura gaussiana es $$K(p):={\rm det}\ dN_p $$

Si $x(u,v)$ es una parametrización, y si $$ N_u= dN x_u ,\ N_v=dN x_v $$ a continuación tenemos el primer y segundo fundamento de la forma : $$ (x_u,x_u)=E,\ (x_v,x_v)=G,\ (x_u,x_v)=F $$ $$ (N_u ,x_u)=e,\ (N_v,x_v)=g,\ (N_u,x_v)= f $$ and $$ {\rm det} dN =\frac{eg-f^2}{EG-F^2} $$

Aquí recordar una curvatura normal : $$k_n(p)= -(dN c'(0),c'(0)) $$ una curva en $S$ pasando a través de $p$. En más $dN$ es auto adjunto de modo que existen autovalores $dN v_i=\lambda_i v_i $. Es decir, $-\lambda_i$ son normales curvaturas. Que es signo de $K$ es igual a $\lambda_1\lambda_2$.

Si $S$ es un compacto, a continuación, elegimos algún punto interior $o$ que no está en $S$. Así que el punto más lejano $x\in S$ $o$ ha normal curvaturas del mismo signo. Por lo tanto hemos terminado.

Answer 2

Sólo elíptica puntos, el signo es positivo y el de la silla de montar/hiperbólico puntos es negativo.

Por Euler relación en la fibra de la tangente paquete normal de la curvatura de la señal pasa de positivo a través de cero a negativo si el anti-clásticas tipo de $ k_1k_2< 0 $ de la superficie y de syn-clásticas $ k_1k_2> 0 $ ambos están en el lado positivo.

$$ k_n = k_1 \cos^{2}\psi + k_2 \cos^{2}\psi $$

La segunda forma fundamental determinante puede ser expresada en términos de la primera forma fundamental coeficientes y derivados facilitando así el escalar de curvatura de Gauss totalmente isométrica de asignación independiente, demostrado en la prueba de Gauss Theorema Egregium.