Demostrando que $\left (\frac{\sin x}{x} \right )^3\geq \cos^{2}x$

Question

Demuestra que $$\left (\frac{\sin x}{x} \right )^3\geq \cos^{2}x,\forall x\in \left ( 0;\frac\pi2 \right )$$

---

En primer lugar , tuve que utilizar la diferenciación de $f(x)=\left (\frac{\sin x}{x} \right )^3- \cos^{2}x$ pero creo que es muy complejo: $$f'(x)=3\left ( \frac{\sin x}{x} \right )^2\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}+\sin2x$$ O no puedo probar que sea positivo en $ \left ( 0;\frac\pi2 \right )$

En segundo lugar , había utilizado la función convexa, pero la función $f(x)=\left (\frac{\sin x}{x} \right )^3-\cos^{2}x$ no es convexo o cóncavo en todos $ \left ( 0;\frac\pi2 \right )$

Answer 1

Es suficiente con considerar: $$ f(x)= \sin^3(x)-x^3\cos^2(x) $$ y demostrar que es una función creciente sobre $I=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ estudiando: $$ g(x)=\frac{f'(x)}{\cos(x)} = -3x^2\cos(x)+2x^3\sin(x)+3\sin^2(x).$$ $g(x)> 0$ se desprende de $\frac{\sin x}{x}> 1-\frac{x^2}{6}$ y $\cos(x)< 1$ en $I$ .

Answer 2

Como todas las cantidades implicadas son positivas, puedes desplazar los términos para obtener una desigualdad equivalente: $$\tan^2x\sin x\ge x^3\tag{i}$$ Consideremos ahora la función $f(x)=\tan^2x\sin x - x^3$ .

Su derivado es $f'(x)=\tan^2 x\cos x+2\tan x \sin x\sec^2 x-3x^2=g(x)-3x^2$ .

Utilizando la desigualdad AM-GM en el $g(x)$ , obtenemos : $$g(x)\ge 3\tan^2x(\sec x)^{1/3}\tag{ii}$$

De (ii) podemos decir que $$f'(x)\ge 3(\tan^2x(\sec x)^{1/3}-x^2)\tag{iii}$$

Finalmente utilizando las desigualdades $\tan x>x$ y $\sec x >1$ en (iii) obtenemos que $f'(x)\ge0$ .

Ahora que se sabe que f(x) es una función creciente, $$f(x)>f(0)\implies \tan^2x\sin x\ge x^3$$

Answer 3

Comience con $$ 1-\cos(x)\ge0\tag{1} $$ Para $x\ge0$ la integración sucesiva da como resultado $$ x-\sin(x)\ge0\tag{2} $$ y $$ \frac{x^2}2-1+\cos(x)\ge0\tag{3} $$ y $$ \frac{x^3}6-x+\sin(x)\ge0\tag{4} $$ y $$ \frac{x^4}{24}-\frac{x^2}2+1-\cos(x)\ge0\tag{5} $$ Desde $(4)$ obtenemos $$ \frac{\sin^3(x)}{x^3}\ge1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{216}\tag{6} $$ Desde $(5)$ obtenemos $$ \cos(x)\le1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}\tag{7} $$ Restando $(7)$ de $(6)$ produce $$ \frac{\sin^3(x)}{x^3}-\cos(x)\ge\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{216}\tag{8} $$ y para $|x|\le3$ , $\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{216}\ge0$ . Así para, $x\in\left[0,\frac\pi2\right]$ , $$ \frac{\sin^3(x)}{x^3}\ge\cos(x)\ge\cos^2(x)\tag{9} $$

Answer 4

Podemos tener uno más fuerte que sea más fácil:

Dejemos que $f(x)=\tan{x}\sin{x} -x^2,x\in[0,\pi/2),$

$$f'(x)>0\implies \tan{x}\sin{x}>x^2,x\in(0,\pi/2).$$

$$f'(x)=\sin{x}\dfrac{\cos^2{x}+1}{\cos^2{x}}-2x>0\iff \dfrac{\tan{x}}{x}> \dfrac{2}{\cos{x}+\dfrac{1}{\cos{x}}} $$

lo cual es cierto, porque:

$$\dfrac{\tan{x}}{x}>1,\cos{x}+\dfrac{1}{\cos{x}}>2 \implies \dfrac{2}{\cos{x}+\dfrac{1}{\cos{x}}}<1,\forall x\in(0,\pi/2).$$

es trivial que

$$\dfrac{\tan{x}}{x} \cdot\tan{x}\sin{x}>x^2,x\in(0,\pi/2).$$