Para mis propósitos, puedes interpretar "mejor" como "más claro y fácil de entender para los estudiantes de un primer curso de teoría de números", pero no te sientas demasiado limitado.
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Creo que la prueba elemental más sencilla y fácil de recordar de QR se debe, con mucho, a Rousseau . Todo lo que utiliza es el teorema del resto chino y la fórmula de Euler $a^{(p-1)/2}\equiv (\frac{a}{p}) \mod p$ . La reseña de mathscinet hace un muy buen trabajo al esbozar la prueba. Intentaré explicar cómo lo recuerdo aquí (pero la falta de formato es realmente dura para este argumento).
Este es el esquema. Considere $(\mathbb{Z}/p)^\times \times (\mathbb{Z}/q)^\times = (\mathbb{Z}/pq)^\times$ . Queremos dividir ese grupo por la "mitad", es decir, considerar un subconjunto tal que exactamente uno de x y -x esté en él. Hay tres formas obvias de hacerlo. Para cada una de ellas tomamos el producto de todos los elementos de esa "mitad". Los tres números resultantes son iguales hasta un signo global. Calculando ese signo en el $(\mathbb{Z}/p)^\times$ parte y la $(\mathbb{Z}/q)^\times$ parte te dan las dos caras de QR.
Con más detalle. En primer lugar, permítanme describir las tres mitades "obvias":
- Tome la primera mitad de $(\mathbb{Z}/p)^\times$ y todos los demás factores
- Toma todo el primer factor y la primera mitad de $(\mathbb{Z}/q)^\times$
- Tome la primera mitad de $(\mathbb{Z}/pq)^\times$
Los tres productos son entonces (dejando P = (p-1)/2 y Q=(q-1)/2):
- $(P!^{q-1}, (q-1)!^P)$
- $((p-1)!^Q, Q!^{p-1})$
- $\left(\frac{(p-1)!^Q P!}{q^P P!},\frac{(q-1)!^P Q!}{p^Q Q!}\right)$
Todos ellos son iguales entre sí hasta los signos globales. Mirando el segundo componente está claro que el signo que relaciona 1 y 3 es $\left(\frac{p}{q}\right)$ . Del mismo modo, el signo que relaciona 2 y 3 es $\left(\frac{q}{p}\right)$ . Así que el signo que relaciona 1 y 2 es $\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right)$ . Pero para pasar de 1 a 2 sólo cambiamos los signos de $\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}$ elementos. QED
KConrad
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La pregunta pedía la prueba más bonita para un primer curso de licenciatura. ¿Alguien que haya ofrecido una propuesta ha utilizado su opción favorita en un curso? (Obviamente las sugerencias referidas a $K$ -la teoría o los símbolos de Hilbert no fueron sugeridos con ese espíritu). He impartido varias veces una clase de teoría de números en la universidad y al principio di la prueba de la suma de Gauss. Pero después me di cuenta de que a los alumnos les resultaba realmente imposible (parecía demasiado mágica), así que busqué otras pruebas, preferiblemente algunas que se basaran en ideas más básicas que pudiera presentar antes en el curso. La prueba de Eisenstein (función senoidal) no se ajusta a ese requisito, y Zolotarev parece demasiado lejano si los alumnos no han estudiado teoría de grupos (lo que la mayoría no ha hecho). Entonces, ¿qué otra cosa hay disponible?
Existe una prueba debida a V. Lebesgue (¡no a H. Lebesgue!) que se basa en el recuento de puntos en las hiperesferas mod $p$ . Se puede encontrar en el libro de Ireland-Rosen. Para una prima impar $p$ y un número entero positivo $n$ , dejemos que
$$N_n(p) = \#\{(x_1,\dots,x_n) \in ({\mathbf Z}/(p))^n : x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 1\}.$$
Este es el número de mod $p$ puntos de la esfera en $n$ -space mod $p$ . A principios de curso hago que los alumnos descubran numéricamente que todo número mod $p$ es una suma de dos cuadrados. Es decir,
$$\#\{(x,y) \in ({\mathbf Z}/(p))^2 : x^2 + y^2 = a\}$$
es positivo para cada $a$ en ${\mathbf Z}/(p)$ . Esto podría demostrarse por el principio de encasillamiento, ya que $x^2$ y $a - y^2$ cada toma $(p+1)/2$ valores mod. $p$ y, por lo tanto, tienen un solapamiento. Pero más precisamente, si se observan los ejemplos, se descubre rápidamente que este recuento de 2 variables es independiente de $a$ cuando $a$ es distinto de cero (desde un punto de vista más avanzado, la independencia se debe a que el mapa normativo sobre grupos unitarios $(({\mathbf Z}/(p))[t]/(t^2+1))^\times \to ({\mathbf Z}/(p))^\times$ es un homomorfismo por lo que sus fibras tienen el mismo tamaño, pero que es una explicación disparatada en un curso de teoría de números elemental). Suficientes datos sugieren cuál es ese valor uniforme para cualquier $a \bmod p$ y lo demostramos en clase. Con este recuento de 2 variables volvemos al recuento de la hiperesfera y obtenemos una sencilla fórmula recursiva que conecta $N_n(p)$ a $N_{n-2}(p)$ . Si dejas que $n = q$ sea un primo impar, la fórmula recursiva implica $p^{(q-1)/2}$ más $N_{q-2}(p)$ veces un múltiplo de $q$ Así que $N_q(p) \bmod q$ implica $(\frac{p}{q})$ . [Nota: Aunque la aplicación utilizará $N_q(p)$ , tú debe pensar en $N_n(p)$ para el impar general $n$ primero ya que la recursión de $n$ volver a $n-2$ no tiene sentido en general cuando el número de variables es sólo un primo impar: $n-2$ normalmente no es primordial cuando $n$ es]
Al mismo tiempo, el conjunto que se cuenta por $N_n(p)$ es invariante bajo desplazamientos cíclicos de las coordenadas. En el primer problema que planteo hago que los alumnos descubran numéricamente que el número de desplazamientos cíclicos de un $n$ -es siempre un divisor de $n$ . Así que cuando dejamos que $n = q$ sea un primo impar, $N_n(p) = N_q(p)$ es el número de constantes $q$ -tuplas en la esfera unitaria mod $p$ más un múltiplo de $q$ . Una constante $q$ -tupla es básicamente contar si $q \bmod p$ es un cuadrado. Así que $N_q(p) \bmod q$ está relacionado con $(\frac{q}{p})$ .
En los dos enfoques del recuento $N_q(p) \bmod q$ uno implica $(\frac{p}{q})$ y el otro implica $(\frac{q}{p})$ . Esto implica la relación QR mod $q$ que es la igualdad real, ya que $1$ no es $-1 \bmod q$ .
Lo bueno de este enfoque es que también se puede utilizar para demostrar la ley complementaria para $(\frac{2}{p})$ , contando
$$\#\{(x,y) \in ({\mathbf Z}/(p))^2 : x^2 + y^2 \equiv 1 \bmod p\}$$
de dos maneras. En primer lugar está la fórmula exacta para el recuento (no sólo mod $p$ ) que ya he mencionado. En segundo lugar, la mayoría de las soluciones de este recuento vienen en paquetes de tamaño 8 (se permutan las coordenadas y se cambian los signos para obtener 8 soluciones a partir de una solución). Las excepciones que no caen en paquetes de tamaño 8 (cuando $x$ es $\pm y$ mod $p$ o $x$ o $y$ es $0$ mod $p$ ) dependen de si 2 mod $p$ es un cuadrado (hace $2x^2 \equiv 1 \bmod p$ tiene una solución?), y la comparación de estas dos fórmulas mod 8 implica la regla habitual para $(\frac{2}{p})$ .
Dado que puedo hacer que los estudiantes trabajen en ideas que se utilizan en la prueba mucho antes durante el semestre (uno no necesita residuos cuadráticos para mirar numéricamente las soluciones de $x^2 + y^2 \equiv a \bmod p$ Por ejemplo, esta prueba une muy bien las cosas que han visto a lo largo del curso. Por eso, este es mi voto para la mejor prueba para dar en un curso de grado.
Franz Lemmermeyer
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La siguiente variante de una prueba que se remonta a V. Lebesgue y Eisenstein se debe a Aurelien Bessard (2010). Véase también W. Castryck, Una prueba clásica abreviada de la ley de reciprocidad cuadrática , Amer. Math. Monthly 115 (2008), 550-551.
Dejemos que $p = 2m+1$ y $q$ sean primos Impares distintos y que $N$ denotan el número de soluciones de la ecuación $$ x_1^2 + \ldots + x_p^2 = 1 $$ en el campo finito ${\mathbb F}_q$ .
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El grupo ${\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$ actúa en el espacio de la solución espacio $X$ mediante el desplazamiento de los índices: si $(x_1, \ldots, x_p) \in X$ , entonces también lo es $(x_a,x_{a+1}, \ldots)$ para cada $a \in {\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$ donde los índices tienen que ser leídos modulo $p$ . Cada órbita tiene exactamente $p$ elementos excepto si hay un $x$ con $(x,x,\ldots,x) \in X$ La órbita de este elemento órbita de este elemento tiene $1$ elemento. Ahora $(x,x,\ldots,x) \in X$ si y sólo si $px^2 = 1$ se puede resolver en ${\mathbb F}_q$ Por lo tanto $$ N \equiv \Big( \frac pq \Big) + 1 \bmod p. $$
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Hacemos un cambio de variables para transformar la ecuación diagonal en una ecuación en la que sea más fácil contar el número de soluciones es más fácil. Para ello, consideremos la matriz $$ A = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & & & & & & \\\ 1 & 0 & & & & & & \\\ & & 0 & 1 & & & & \\\ & & 1 & 0 & & & & \\\ & & & & \ddots & & & \\\ & & & & & 0 & 1 & \\\ & & & & & 1 & 0 & \\\ & & & & & & & a \end{matrix} \right) $$ con $a = (-1)^{(p-1)/2}$ . Desde $\det A = 1$ esta matriz es congruente con la matriz unitaria, por lo que $X$ y los espacios de solución $X'$ de la ecuación $x^T A x = 1$ es decir, de $$ 2(y_1z_1 + \ldots + y_m z_m) + ax_p^2 = 1 $$ son isomorfas (recordemos que $p = 2m+1$ ).
Para contar el número de soluciones de $X'$ Obsérvese que si $(y_1, \ldots, y_m) = 0$ tenemos $q^m \cdot (1+a^{(q-1)/2})$ posibilidades de elección $z_1, \ldots, z_m$ y $x_p$ .
Si $y = (y_1, \ldots, y_m) \ne 0$ por otro lado, entonces para cada elección de $y$ y $x_p$ tenemos que contar el número de puntos en un hiperplano de dimensión $m$ ; hay $q^{m-1}$ puntos en dicho hiperplano, y el número de posibilidades globales en este caso es $(q^m-1) \cdot q \cdot q^{m-1} = q^m(q^m-1)$ .
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Así, encontramos \begin{align*} N & = q^m (1+a^{(q-1)/2} + q^m(q^m-1) = q^m(q^m + (-1)^{\frac{p-1}2 \frac{q-1}2}) \\\ & \equiv \Big(\frac qp \Big) \Big[ \Big(\frac qp \Big) + (-1)^{\frac{p-1}2 \frac{q-1}2} \Big] \equiv 1 + (-1)^{\frac{p-1}2 \frac{q-1}2} \Big(\frac qp \Big) \bmod p. \end{align*} Comparando con la congruencia de 1. se obtiene la ley de reciprocidad cuadrática cuadrática de reciprocidad.
Justin Bennett
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La prueba que implica sumas de Gauss siempre me ha parecido la mejor. Voy a hacer que mis propios estudiantes de teoría de los números de la licenciatura vean esa prueba, justo después de que desarrollemos algo de experiencia con las raíces de la unidad.
Si se elimina la restricción de la accesibilidad a los estudiantes de un primer curso de teoría de números, entonces se pueden evitar por completo los cálculos con raíces de la unidad: Por la teoría de Galois (y algún conocimiento de los discriminantes), una raíz cuadrada de p o -p vive dentro del campo ciclotómico de índice p. Un examen de la acción de un elemento de Frobenius en q sobre esta raíz cuadrada relaciona Legendre(p,q) con Legendre(q,p).
