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Demostrar que esta iteración corta un número racional en dos irrationals n=01q2npnqn+1+limnpnqnn=01q2npnqn+1+limnpnqn

Para cualquier 1p<q1p<q tenemos:

pq=1q2pq+1+(qp)(pq1)q(q2pq+1)pq=1q2pq+1+(qp)(pq1)q(q2pq+1)

Vamos a considerar una iteración:

pn+1=(qnpn)(pnqn1)pn+1=(qnpn)(pnqn1)

qn+1=qn(q2npnqn+1)qn+1=qn(q2npnqn+1)

Entonces tenemos: p0q0=n=01q2npnqn+1+limnpnqnp0q0=n=01q2npnqn+1+limnpnqn

El de arriba es trivialmente cierto, siempre que ambos límites existen por separado. Pero resulta numéricamente que tanto la suma y el límite son finitos y (aparentemente) irracional. Vamos a denotar:

A(p0,q0)=n=01q2npnqn+1A(p0,q0)=n=01q2npnqn+1

B(p0,q0)=limnpnqnB(p0,q0)=limnpnqn

A(p0,q0)+B(p0,q0)=p0q0A(p0,q0)+B(p0,q0)=p0q0


Tenemos (yo sólo escribo AA, ya que el BB puede ser obtenido de la resta):

A(1,2)=0.365624790175942982737859474249681505A(1,2)=0.365624790175942982737859474249681505

A(1,3)=0.145650460727123812176794888179825955A(1,3)=0.145650460727123812176794888179825955

A(2,3)=0.261766321023330525617942741920174815A(2,3)=0.261766321023330525617942741920174815

A(3,4)=0.205525029400010131449324836277780238A(3,4)=0.205525029400010131449324836277780238

Por otra parte, dado que definimos a la "numeradores" y "denominadores' por separado, obtenemos diferentes resultados para A(mp0,mq0)A(mp0,mq0):

A(2,4)=0.1123721471627326977547524155555190359A(2,4)=0.1123721471627326977547524155555190359

A(3,6)=0.0527707965471706424044987365216530762A(3,6)=0.0527707965471706424044987365216530762

A(4,8)=0.0303300858480840619918350602972694890A(4,8)=0.0303300858480840619918350602972694890

A(4/3,8/3)=0.228842771329071793825717533784828873A(4/3,8/3)=0.228842771329071793825717533784828873

No he sido capaz de encontrar una forma cerrada para cualquiera de A,BA,B he intentado.

Sin embargo, parece probable que son irracionales. Si es cierto y no se conoce la forma cerrada, entonces se puede producir un número infinito de pares de irrationals A,BA,B que se suma a un determinado número racional trivial.


Mis preguntas son:

  • Podemos demostrar que A,BA,B son irracionales por racionales p0,q0p0,q0?

  • Hay alguna forma cerrada para A,BA,B en términos de p0,q0p0,q0?

  • Son los valores de A,BA,B único para cada par distinto de p0,q0p0,q0?


Un bosquejo de una prueba de la existencia de BB (tenga en cuenta que no asumimos p0,q0N1p0q01):

pn+1=(qnpn)(pnqn1)p2n+pn1

qn+1=qn+q2n(qnpn)q2n+qn

Podemos ver que pn,qn es no decreciente, y por n>1 están en aumento (debido a qn es estrictamente creciente y 'ayuda' a pn después de que el primer paso).

Para n tenemos pnqn, así:

pn+1qn+1=(qnpn)(pnqn1)qn(q2npnqn+1)pnqn

Es evidente que el límite existe.

El límite de A existe porque la secuencia de q2npnqn+1 crece mucho más rápido que n2 y la suma obviamente converge.


Actualización

Un poco de algo en forma cerrada. El sistema de relaciones de recurrencia puede escribirse como una sola recurrencia relación con:

pn=qn+1qnqn+1q2n

Luego tenemos un segundo orden de la recurrencia de la relación:

qn+2=qn+1(qn+1qn+1)+q3n+1q2n(qn+1qn1) q0=q0,q1=q0(q20q0p0+1)

O una más simétrica forma:

qn+2qn+1=qn+1qn+1+q2n+1q2n(qn+1qn1)

Si encontramos una forma cerrada para él (que no estoy seguro de que existe) podemos tomar el límite y encontrar la forma cerrada para B.

También tenemos una más simple relación de aspecto (pero todavía se requiere que sepamos qn):

pnqn=1+1q2n1qn1qnqnq3n1

Y de hecho, también podemos escribir A en términos de qn:

A=n=0qnqn+1


Actualización 2

Deshacerse de algunas partes innecesarias, podemos reformular el problema:

Establecer algunas q1>q0>0. Entonces podemos definir un segundo orden de recurrencia:

qn+2=qn+1(qn+1qn+1)+q3n+1q2n(qn+1qn1)

Con la siguiente propiedad: L(q0,q1)S(q0,q1)=limnqn+1q3nn=0qnqn+1=q1q0q30

Podemos encontrar una forma cerrada para la recurrencia? O por separado para el límite de L o sea la suma de S arriba?

Tenga en cuenta que para el límite de L a un ser finito, tenemos que tener como n:

qnCa3n


Por ejemplo tenemos:

S(1,2)=0.645953147800624278311945190231458547==12+17+1323+133657247+138127274806076464952763+

No hay forma cerrada para este número, sin embargo mira el denominador de la secuencia de todos los números que terminan con 3 o 7. Este patrón continúa hasta que yo pueda ver.

2voto

Yuriy S Puntos 179

Como una respuesta para la pregunta en el título I se propone el siguiente (usando los resultados de la OP):

A=n=0qnqn+1

Tenemos:

qn+2qn+1=qn+1qn+1+q2n+1q2n(qn+1qn1)

Setan=qnqn1bn=qn1qn2+1, entonces tenemos:

an=qn1qn2+1+an1(an11):=an1(an11)+bn1

Así, según este documento: La Aproximación de Números como Sumas de Recíprocos, la suma de (1) es la voraz expansión del número de A:

A=n=11an

De acuerdo con el documento, cada una de estas expansión de un número real tiene la forma:

x=1a1+1a2+

ak+1=ak(ak1)+bk,   a12,  bk>1,    ak,bkN

Todos los requisitos se cumplan. (Para demostrar que la an son todos los números enteros sólo tenemos que mirar la definición inicial de qn).

Y desde la voraz expansión para un número racional es finito, pero la secuencia de an no es, nos han demostrado que, a A es irracional.

1voto

Gazta Puntos 106

Supongamos que el límite de B existe y es racional, B=pq. Entonces debemos tener %#% $ #%

Pero la única solución a esto es $$\frac{p}{q} = \frac{(q-p)(pq-1)}{q(q^2-pq+1)}.$, por lo tanto el límite no puede ser racional.

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