Para cualquier 1≤p<q1≤p<q tenemos:
pq=1q2−pq+1+(q−p)(pq−1)q(q2−pq+1)pq=1q2−pq+1+(q−p)(pq−1)q(q2−pq+1)
Vamos a considerar una iteración:
pn+1=(qn−pn)(pnqn−1)pn+1=(qn−pn)(pnqn−1)
qn+1=qn(q2n−pnqn+1)qn+1=qn(q2n−pnqn+1)
Entonces tenemos: p0q0=∞∑n=01q2n−pnqn+1+limn→∞pnqnp0q0=∞∑n=01q2n−pnqn+1+limn→∞pnqn
El de arriba es trivialmente cierto, siempre que ambos límites existen por separado. Pero resulta numéricamente que tanto la suma y el límite son finitos y (aparentemente) irracional. Vamos a denotar:
A(p0,q0)=∞∑n=01q2n−pnqn+1A(p0,q0)=∞∑n=01q2n−pnqn+1
B(p0,q0)=limn→∞pnqnB(p0,q0)=limn→∞pnqn
A(p0,q0)+B(p0,q0)=p0q0A(p0,q0)+B(p0,q0)=p0q0
Tenemos (yo sólo escribo AA, ya que el BB puede ser obtenido de la resta):
A(1,2)=0.365624790175942982737859474249681505…A(1,2)=0.365624790175942982737859474249681505…
A(1,3)=0.145650460727123812176794888179825955…A(1,3)=0.145650460727123812176794888179825955…
A(2,3)=0.261766321023330525617942741920174815…A(2,3)=0.261766321023330525617942741920174815…
A(3,4)=0.205525029400010131449324836277780238…A(3,4)=0.205525029400010131449324836277780238…
Por otra parte, dado que definimos a la "numeradores" y "denominadores' por separado, obtenemos diferentes resultados para A(mp0,mq0)A(mp0,mq0):
A(2,4)=0.1123721471627326977547524155555190359…A(2,4)=0.1123721471627326977547524155555190359…
A(3,6)=0.0527707965471706424044987365216530762…A(3,6)=0.0527707965471706424044987365216530762…
A(4,8)=0.0303300858480840619918350602972694890…A(4,8)=0.0303300858480840619918350602972694890…
A(4/3,8/3)=0.228842771329071793825717533784828873…A(4/3,8/3)=0.228842771329071793825717533784828873…
No he sido capaz de encontrar una forma cerrada para cualquiera de A,BA,B he intentado.
Sin embargo, parece probable que son irracionales. Si es cierto y no se conoce la forma cerrada, entonces se puede producir un número infinito de pares de irrationals A,BA,B que se suma a un determinado número racional trivial.
Mis preguntas son:
Podemos demostrar que A,BA,B son irracionales por racionales p0,q0p0,q0?
Hay alguna forma cerrada para A,BA,B en términos de p0,q0p0,q0?
Son los valores de A,BA,B único para cada par distinto de p0,q0p0,q0?
Un bosquejo de una prueba de la existencia de BB (tenga en cuenta que no asumimos p0,q0∈N1≤p0≤q0−1):
pn+1=(qn−pn)(pnqn−1)≥p2n+pn−1
qn+1=qn+q2n(qn−pn)≥q2n+qn
Podemos ver que pn,qn es no decreciente, y por n>1 están en aumento (debido a qn es estrictamente creciente y 'ayuda' a pn después de que el primer paso).
Para n→∞ tenemos pn→∞qn→∞, así:
pn+1qn+1=(qn−pn)(pnqn−1)qn(q2n−pnqn+1)≈pnqn
Es evidente que el límite existe.
El límite de A existe porque la secuencia de q2n−pnqn+1 crece mucho más rápido que n2 y la suma obviamente converge.
Actualización
Un poco de algo en forma cerrada. El sistema de relaciones de recurrencia puede escribirse como una sola recurrencia relación con:
pn=qn+1qn−qn+1q2n
Luego tenemos un segundo orden de la recurrencia de la relación:
qn+2=qn+1(qn+1qn+1)+q3n+1q2n(qn+1qn−1) q0=q0,q1=q0(q20−q0p0+1)
O una más simétrica forma:
qn+2qn+1=qn+1qn+1+q2n+1q2n(qn+1qn−1)
Si encontramos una forma cerrada para él (que no estoy seguro de que existe) podemos tomar el límite y encontrar la forma cerrada para B.
También tenemos una más simple relación de aspecto (pero todavía se requiere que sepamos qn):
pnqn=1+1q2n−1−qn−1qn−qnq3n−1
Y de hecho, también podemos escribir A en términos de qn:
A=∞∑n=0qnqn+1
Actualización 2
Deshacerse de algunas partes innecesarias, podemos reformular el problema:
Establecer algunas q1>q0>0. Entonces podemos definir un segundo orden de recurrencia:
qn+2=qn+1(qn+1qn+1)+q3n+1q2n(qn+1qn−1)
Con la siguiente propiedad: L(q0,q1)−S(q0,q1)=limn→∞qn+1q3n−∞∑n=0qnqn+1=q1−q0q30
Podemos encontrar una forma cerrada para la recurrencia? O por separado para el límite de L o sea la suma de S arriba?
Tenga en cuenta que para el límite de L a un ser finito, tenemos que tener como n→∞:
qn≍C⋅a3n
Por ejemplo tenemos:
S(1,2)=0.645953147800624278311945190231458547==12+17+1323+133657247+138127274806076464952763+…
No hay forma cerrada para este número, sin embargo mira el denominador de la secuencia de todos los números que terminan con 3 o 7. Este patrón continúa hasta que yo pueda ver.