Demostrar que esta iteración corta un número racional en dos irrationals $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{q_n^2-p_n q_n+1}+\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{q_n}$

Question

Para cualquier $1 \leq p<q$ tenemos:

$$\frac{p}{q}=\frac{1}{q^2-p q+1}+\frac{(q-p)(pq-1)}{q(q^2-p q+1)}$$

Vamos a considerar una iteración:

$$p_{n+1}=(q_n-p_n)(p_nq_n-1)$$

$$q_{n+1}=q_n(q_n^2-p_n q_n+1)$$

Entonces tenemos: $$\frac{p_0}{q_0}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{q_n^2-p_n q_n+1}+\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{q_n}$$

El de arriba es trivialmente cierto, siempre que ambos límites existen por separado. Pero resulta numéricamente que tanto la suma y el límite son finitos y (aparentemente) irracional. Vamos a denotar:

$$A(p_0,q_0)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{q_n^2-p_n q_n+1}$$

$$B(p_0,q_0)=\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{q_n}$$

$$A(p_0,q_0)+B(p_0,q_0)=\frac{p_0}{q_0}$$

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Tenemos (yo sólo escribo $A$, ya que el $B$ puede ser obtenido de la resta):

$$A(1,2)=0.365624790175942982737859474249681505 \dots$$

$$A(1,3)=0.145650460727123812176794888179825955 \dots$$

$$A(2,3)=0.261766321023330525617942741920174815 \dots$$

$$A(3,4)=0.205525029400010131449324836277780238 \dots$$

Por otra parte, dado que definimos a la "numeradores" y "denominadores' por separado, obtenemos diferentes resultados para $A(mp_0,mq_0)$:

$$A(2,4)=0.1123721471627326977547524155555190359 \dots$$

$$A(3,6)=0.0527707965471706424044987365216530762 \dots$$

$$A(4,8)=0.0303300858480840619918350602972694890 \dots$$

$$A(4/3,8/3)=0.228842771329071793825717533784828873 \dots$$

No he sido capaz de encontrar una forma cerrada para cualquiera de $A,B$ he intentado.

Sin embargo, parece probable que son irracionales. Si es cierto y no se conoce la forma cerrada, entonces se puede producir un número infinito de pares de irrationals $A,B$ que se suma a un determinado número racional trivial.

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Mis preguntas son:

• Podemos demostrar que $A,B$ son irracionales por racionales $p_0,q_0$?

• Hay alguna forma cerrada para $A,B$ en términos de $p_0,q_0$?

• Son los valores de $A,B$ único para cada par distinto de $p_0,q_0$?

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Un bosquejo de una prueba de la existencia de $B$ (tenga en cuenta que no asumimos $p_0,q_0 \in \mathbb{N}$$1 \leq p_0 \leq q_0-1$):

$$p_{n+1}=(q_n-p_n)(p_nq_n-1) \geq p_n^2+p_n-1$$

$$q_{n+1}=q_n+q_n^2(q_n-p_n) \geq q_n^2+q_n$$

Podemos ver que $p_n,q_n$ es no decreciente, y por $n>1$ están en aumento (debido a $q_n$ es estrictamente creciente y 'ayuda' a $p_n$ después de que el primer paso).

Para $n \to \infty$ tenemos $p_n \to \infty$$q_n \to \infty$, así:

$$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{(q_n-p_n)(p_nq_n-1)}{q_n(q_n^2-p_n q_n+1)} \approx \frac{p_n}{q_n}$$

Es evidente que el límite existe.

El límite de $A$ existe porque la secuencia de $q_n^2-p_n q_n+1$ crece mucho más rápido que $n^2$ y la suma obviamente converge.

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Actualización

Un poco de algo en forma cerrada. El sistema de relaciones de recurrencia puede escribirse como una sola recurrencia relación con:

$$p_n=q_n+\frac{1}{q_n}-\frac{q_{n+1}}{q_n^2}$$

Luego tenemos un segundo orden de la recurrencia de la relación:

$$q_{n+2}=q_{n+1}(q_{n+1}q_n+1)+\frac{q_{n+1}^3}{q_n^2} \left(\frac{q_{n+1}}{q_n}-1 \right)$$ $$q_0=q_0, \qquad q_1=q_0(q_0^2-q_0 p_0+1)$$

O una más simétrica forma:

$$\frac{q_{n+2}}{q_{n+1}}=q_{n+1}q_n+1+\frac{q_{n+1}^2}{q_n^2} \left(\frac{q_{n+1}}{q_n}-1 \right)$$

Si encontramos una forma cerrada para él (que no estoy seguro de que existe) podemos tomar el límite y encontrar la forma cerrada para $B$.

También tenemos una más simple relación de aspecto (pero todavía se requiere que sepamos $q_n$):

$$\frac{p_n}{q_n}=1+\frac{1}{q_{n-1}^2}-\frac{q_{n-1}}{q_n}-\frac{q_n}{q_{n-1}^3}$$

Y de hecho, también podemos escribir $A$ en términos de $q_n$:

$$A=\sum_{n=0}^\infty \frac{q_n}{q_{n+1}}$$

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Actualización 2

Deshacerse de algunas partes innecesarias, podemos reformular el problema:

Establecer algunas $q_1>q_0>0$. Entonces podemos definir un segundo orden de recurrencia:

$$q_{n+2}=q_{n+1}(q_{n+1}q_n+1)+\frac{q_{n+1}^3}{q_n^2} \left(\frac{q_{n+1}}{q_n}-1 \right)$$

Con la siguiente propiedad: $$L(q_0,q_1)-S(q_0,q_1)=\lim_{n \to \infty} \frac{q_{n+1}}{q_n^3}- \sum_{n=0}^\infty \frac{q_n}{q_{n+1}}=\frac{q_1-q_0}{q_0^3}$$

Podemos encontrar una forma cerrada para la recurrencia? O por separado para el límite de $L$ o sea la suma de $S$ arriba?

Tenga en cuenta que para el límite de $L$ a un ser finito, tenemos que tener como $n \to \infty$:

$$q_n \asymp C \cdot a^{3^n}$$

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Por ejemplo tenemos:

$$S(1,2)=0.645953147800624278311945190231458547= \\ = \frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{323}+\frac{1}{33657247}+\frac{1}{38127274806076464952763}+\dots$$

No hay forma cerrada para este número, sin embargo mira el denominador de la secuencia de todos los números que terminan con $3$ o $7$. Este patrón continúa hasta que yo pueda ver.

Answer 1

Como una respuesta para la pregunta en el título I se propone el siguiente (usando los resultados de la OP):

$$A=\sum_{n=0}^\infty \frac{q_n}{q_{n+1}} \tag{1}$$

Tenemos:

$$\frac{q_{n+2}}{q_{n+1}}=q_{n+1}q_n+1+\frac{q_{n+1}^2}{q_n^2} \left(\frac{q_{n+1}}{q_n}-1 \right) \tag{2}$$

Set$a_n=\frac{q_n}{q_{n-1}}$$b_n=q_{n-1}q_{n-2}+1$, entonces tenemos:

$$a_n=q_{n-1}q_{n-2}+1+a_{n-1}(a_{n-1}-1):=a_{n-1}(a_{n-1}-1)+b_{n-1}$$

Así, según este documento: La Aproximación de Números como Sumas de Recíprocos, la suma de $(1)$ es la voraz expansión del número de $A$:

$$A=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$$

De acuerdo con el documento, cada una de estas expansión de un número real tiene la forma:

$$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots$$

$$a_{k+1}=a_k(a_k-1)+b_k,~~~a_1 \geq 2,~~b_k > 1,~~~~a_k,b_k \in \mathbb{N}$$

Todos los requisitos se cumplan. (Para demostrar que la $a_n$ son todos los números enteros sólo tenemos que mirar la definición inicial de $q_n$).

Y desde la voraz expansión para un número racional es finito, pero la secuencia de $a_n$ no es, nos han demostrado que, a $A$ es irracional.

Answer 2

Supongamos que el límite de $B$ existe y es racional, $B=\frac{p}{q}$. Entonces debemos tener %#% $ #%

Pero la única solución a esto es $$\frac{p}{q} = \frac{(q-p)(pq-1)}{q(q^2-pq+1)}.$, por lo tanto el límite no puede ser racional.