¿Una norma posible en un subespacio de $C^\infty([0,1])$?

Question

Mi pregunta es relativa a este: Tome el espacio vectorial de infinitamente funciones diferenciables en $[0,1]$. La norma estándar de $C^k([0,1])$ es sólo el $\ell^1$-norma del vector $(\|f\|_\infty, \|f'\|_\infty,\ldots,\|f^{(k)}\|_\infty)$, pero por supuesto, esta idea no puede ser más perseguido a definir una norma en $C^\infty([0,1])$.

Sin embargo, lo que si se podría considerar el espacio $$ \{f\C^\infty([0,1]):(\|f^{(n)}\|_\infty)_{n\in\mathbb N}\in \ell^p \} $$ para $p\in [1,\infty]$? Este espacio es ciertamente pequeño, en particular, no contiene ni la función exponencial, ni $\sin$$\cos$ -, pero por lo menos no contienen los polinomios y parece ser un espacio de Banach - de hecho, incluso una de Banach entramado de álgebra. ¿Este espacio aparecen en las aplicaciones (Pde?)? Tiene a nadie que haya estudiado su funcionales propiedades analíticas y si este no es el caso, ¿cuáles son en este espacio obvio inconvenientes?

Answer 1

Si su objetivo es en última instancia demuestra que esta es una norma en $ C^\infty([0,1])$ hay muchos obstáculos que no superados:

1. Tomar una secuencia de Cauchy en el subespacio. Incluso si usted probar que converge en $ \ell^p $-norma, ¿cómo se puede demostrar que este límite es en realidad $ (\|f^{(n)}\|_\infty)_{n\in\mathbb N} $ algunos $ f \in {C}^{\infty} $

2. Su subespacio de no incluir los polinomios, pero su cierre en su $ \ell^p $-norma amy ser estrictamente menor que $ C^\infty([0,1])$

De modo que, si falla alguno de estos dos, usted no será capaz de definir en conjunto de la $ C^\infty([0,1])$ tal y como quería.