Uso de herramientas de análisis complejo, tengo que probar que
$$ \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = - \frac{\pi}{4}.$$
Pero no estoy muy seguro de donde debo empezar. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuesta
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Que $C$ ser el contorno del hoyo de llave clásico y $I$ la integral
$$\begin{align}I&=\oint_C \frac{\log^2(z)}{(z^2+1)^2}\,dz\\\\ &=\int_0^R \frac{\log^2(x)}{(x^2+1)^2}\,dx+\int_R^0 \frac{(\log(x)+i2\pi)^2}{(x^2+1)^2}\,dx+\int_0^{2\pi}\frac{\log^2(Re^{i\phi})}{(R^2e^{i2\phi}+1)^2}iRe^{i\phi}\,d\phi\\\\ &=-i4\pi\int_0^R\frac{\log(x)}{(x^2+1)^2}\,dx+\int_0^R\frac{4\pi^2}{(x^2+1)^2}\,dx+\int_0^{2\pi}\frac{\log^2(Re^{i\phi})}{(R^2e^{i2\phi}+1)^2}iRe^{i\phi}\,d\phi \tag 1 \end {Alinee el} $$
$R\to \infty$ La primera integral del lado derecho de $(1)$ aproxima la integral de interés, la segunda integral enfoques $\pi^3$ y el tercer enfoques $0$.
Además, desde el teorema de residuo, tenemos
$$\begin{align} I&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{\log^2(z)}{(z^2+1)^2}, z=\pm i \right)\\\\ &=2\pi i\left(\left(-\frac{\pi}{4}+i\frac{\pi^2}{16}\right)+\left(\frac{3\pi}{4}-i\frac{9\pi^2}{16}\right)\right)\\\\ &=\pi^3+i\pi^2 \tag 2 \end {Alinee el} $$
Ajuste igual al $(1)$ $(2)$, encontramos
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty\frac{\log(x)}{(x^2+1)^2}\,dx=-\frac{\pi}{4}}$$
¡como era de mostrarse!
