Es

Question

ps

¿Hay alguna fórmula que dice que esto o por qué es así?

Answer 1

$\sin(3x)=\sin(x+2x)$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$

$\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1 $

Si se aplican todas estas fórmulas debe obtener:

$\sin(3x)=3\cdot \sin x -4\cdot \sin^3 x$

Answer 2

$$\sin(3x)=\Im(\mathrm e^{3\mathrm ix})=\Im\left((\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^3\right)$$

$$(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^3=\cos^3(x)+3\mathrm i\ \cos^2(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-\mathrm i\ \sin^3(x)$$

$$\sin(3x)=3\ \cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)$$

$$4\ \sin^3(x)=3\sin(x)-\sin(3x)$$

Ejercicio Asimismo, muestran que

$$16\ \sin^5(x)=\sin(5x)-5\sin(3x)+10\sin(x)$$

Añadido La otra manera alrededor (este uno generaliza fácilmente y explica la aparición de lo Coeficientes binomiales $(1,3)$ $\sin^3$ y $(1,5,10)$ $\sin^5$):

$$(2\mathrm i\sin(x))^3=(\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm e^{-\mathrm ix})^3=\mathrm e^{3\mathrm ix}-3\mathrm e^{\mathrm ix}+3\mathrm e^{-\mathrm ix}-\mathrm e^{-3\mathrm ix}$$ $$ (-8\mathrm i) \ \sin^3(x)=(2\mathrm i) \ (\sin(3x)-3\sin(x)) $$ $$ -\sin^3(x)=\sin(3x)-3\sin(x) 4\ $$

Answer 3

Continuando con mi comentario a bgins la respuesta, uno puede comenzar a partir de la (definición) el polinomio de Chebyshev de identidad

$$T_{2n-1}(\cos\,x)=\cos((2n-1)x)$$

y hacer la sustitución $x=\frac{\pi}{2}-z$ para el rendimiento de la identidad

$$T_{2n-1}(\sin\,z)=(-1)^{n+1}\sin((2n-1)z)$$

(la adición de la fórmula y de la mente los valores de seno y coseno en múltiplos enteros de $\pi$.)

Ahora, no es la identidad

$$T_{2n-1}(u)=\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^{n+m+1}\frac{2n-1}{2m+1}\binom{n+m-1}{2m} 4^m u^{2m+1}$$

que puede ser utilizado para derivar la matriz-vector de identidad

$$\begin{pmatrix}\sin\,x\\\sin\,3x\\\vdots\\\sin((2n-1)x)\end{pmatrix}=\mathbf L\mathbf D\begin{pmatrix}\sin\,x\\\sin^3 x\\\vdots\\\sin^{2n-1}x\end{pmatrix}$$

donde la matriz diagonal $\mathbf D$ tiene la diagonal entradas de $d_{k,k}=(-4)^{k-1}$ y el inferior de la unidad triangular de la matriz de $\mathbf L$ tiene entradas de $\ell_{j,k}=\dfrac{2j-1}{2k-1}\dbinom{j+k-2}{2k-2}$. La inversión de esta relación da

$$\begin{pmatrix}\sin\,x\\\sin^3 x\\\vdots\\\sin^{2n-1}x\end{pmatrix}=\mathbf D^{-1}\mathbf W\begin{pmatrix}\sin\,x\\\sin\,3x\\\vdots\\\sin((2n-1)x)\end{pmatrix}$$

donde $\mathbf W=\mathbf L^{-1}$ también es una unidad triangular inferior de la matriz con entradas de $w_{j,k}=(-1)^{j+k} \dbinom{2j-1}{j+k-1}$. (La prueba de que $\mathbf L\mathbf W=\mathbf I$ no es demasiado difícil, y se deja como ejercicio.) En particular, la segunda fila de los rendimientos de la OP deseada de la identidad.

Answer 4

fórmula de Moivre dice $$ \begin{align} \cos(3x)+i\sin(3x) &=(\cos(x)+i\sin(x))^3\\ &=\left(\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)\right)+i\left(3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)\right)\\ &=\left(4\cos^3(x)-3\cos(x)\right)+i\left(3\sin(x)-4\sin^3(x)\right)\tag{1} \end {Alinee el} $$, $$ \begin{align} \cos(3x)&=4\cos^3(x)-3\cos(x)\tag{2}\\ \sin(3x)&=3\sin(x)-4\sin^3(x)\tag{3} \end {Alinee el} % Problemas de $$ $(3)$$\sin^3(x)$rinde $$ \sin^3 (x) = \frac34\sin (x)-\frac14\sin(3x)\tag {4} $$

Answer 5

Usted puede ser que desee mirar a los polinomios de Chebyshev de la primera y de segunda clase, que se denota $T_n$ $U_n$ respectivamente, los cuales se definen de manera recursiva por $$ \begin{matrix} T_0 = 1,& T_1(x) = x,& T_{n+1} = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) \\ U_0 = 1,& U_1(x) = 2x,& U_{n+1} = 2x U_n(x) - U_{n-1}(x) \end{de la matriz} $$ (por lo tanto, cada uno de grado $n$) y dar las fórmulas $$ \cos(n\theta) = T_n(\cos\theta), \qquad \frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin\theta} = U_n(\cos\theta), $$ y tienen varios cerrado expresiones, por ejemplo involucrando a los coeficientes binomiales.