Sea $G$ un grupo y $S$ un conjunto $G$-con acción $(g,s) \mapsto gs$. Para algún $s \in S$, sea el estabilizador de $s$, $G_s=\{g \in G\,|\,gs=s\}$ normal en $G$. ¿Qué nos permite decir esto acerca de la acción de $G$ en $S?
Pensé que podría ser interesante mirar una acción de $G/G_s$ en $S$. Sin embargo, algo como $(gG_s,s) \mapsto gs$ ni siquiera está bien definido en general.
¿Hay situaciones en las que podemos recuperar algo interesante?
Lo que dice la normalidad del estabilizador es exactamente que cada elemento del grupo $g\in G$ que fija a $s$ también fija a toda la órbita $Gs$ punto por punto. Recíprocamente, cualquier $g\in G$ que fija algún elemento de la órbita $Gs$ también fijará a $s.
Estas dos partes son equivalentes, aunque la primera oración dice que cada conjugado de $G_s$ contiene a $G_s$, mientras que la segunda oración dice que cualquier conjugado de $G_s$ está contenido en $G_s$. Aunque un subgrupo $H$ pueda contener estrictamente un conjugado ${}^gH$ de sí mismo, si contiene todos sus conjugados entonces debe ser igual a todos ellos, en otras palabras, normal (si $H\supsetneq {}^gH$ entonces ${}^{g^{-1}}H\supsetneq H$, y la hipótesis excluye esto).
Creo que, en tu primer párrafo, la primera oración dice que cada conjugado de $G_s$ está contenido en $G_s, mientras que la segunda oración dice que cualquier conjugado de $G_s$ contiene a $G_s. Por favor, corrígeme si me equivoco.
@Michael_1812 La primera oración dice que cada elemento del estabilizador $G_s$ de $s$ también se encuentra en el estabilizador $G_{g\cdot s}$ de un punto $g\cdot s$ de la órbita $Gs$ (así que para cada $g\in{G}$), en otras palabras se encuentra en el conjugado $gG_sg^{-1}$, que por lo tanto contiene a $G_s$ tal como lo dice mi segundo párrafo. En cualquier caso, el argumento en la dirección opuesta brinda la inclusión opuesta.
Observar lo que sucede cuando un estabilizador es un subgrupo normal es una de mis piezas favoritas en matemáticas.
A priori, la acción de conjugación y los subgrupos normales no parecen tan importantes, especialmente cuando comienzas a estudiar teoría de grupos. Sin embargo, luego te presentan los grupos cociente, los teoremas de Sylow, etc., y ves que son realmente importantes. Pero a menudo falta la motivación, y parece una feliz coincidencia que tanta información se pueda derivar de estas acciones y subgrupos.
Sin embargo, creo que algo de luz se arroja sobre la conjugación y los subgrupos normales cuando consideras las acciones de grupo, los estabilizadores y las órbitas (que son esencialmente los conceptos más importantes que unifican todo en la teoría de grupos). El primer resultado que sugiere que la conjugación podría ser importante es que si tienes dos elementos que están en la misma órbita de alguna acción de grupo entonces sus estabilizadores son subgrupos conjugados. Este resultado ya ha sido mencionado.
Una vez que has reconocido la conjugación como una acción, y has nombrado los puntos fijos de esta acción 'subgrupos normales', puedes considerar lo que sucede cuando un estabilizador resulta ser un subgrupo normal. Dado que por definición, la conjugación no mueve un subgrupo normal, si tienes el estabilizador de algún elemento que es normal entonces todos los elementos en la misma órbita tienen el mismo estabilizador. En particular, esto significa que los únicos elementos del grupo que realmente mueven los elementos en la órbita son los cocientes del estabilizador normal. Más interesante aún, si tienes dos elementos de grupo de la misma coset de ese estabilizador normal, entonces actúan en la órbita de la misma manera exacta.
Estas observaciones pueden motivar la construcción del grupo cociente. Sea $G$ un grupo, y sea $N$ un subgrupo normal. Considera el espacio de cocientes $G/N$, y deja que $G$ actúe en $G/N$ por multiplicación izquierda. Sabemos en general que si permitimos que $G$ actúe en $G/H$ para algún subgrupo $H$ por multiplicación izquierda, entonces el núcleo de la acción es $H$ y la acción es transitiva. Sin embargo, obtenemos hechos muy convenientes cuando consideramos un subgrupo normal. Específicamente, el estabilizador de cualquier coset $aN$ es $N$. Esto implica que $N\cdot aN=aN$ (como conjuntos). Además, dado que los cocientes de $N$ actúan en $G/N$ de la misma manera exacta, obtenemos que para todos $b, b'\in bN$ que $b\cdot aN=b'\cdot aN$. Esto implica que para cualquier par de cosets $aN$ y $bN$ en $G/N$ que $aN\cdot bN=(ab)N$ (como conjuntos). Esto significa que el conjunto producto de cualquier par de cosets de $N$ es nuevamente un coset de $N$. Esta es una relación no trivial. De hecho, si $H$ es un subgrupo de $G$ tal que el conjunto producto de cualquier par de cosets de $H$ también es un coset de $H, entonces $H$ debe ser normal (este resultado ha sido discutido aquí antes). Por lo tanto, esta propiedad caracteriza a los subgrupos normales. Estos hechos también nos permiten ver que $\cdot$ (producto de subconjuntos) es una operación de grupo en $G/N$ mientras que normalmente ni siquiera es un operador binario en $G/H$ para un subgrupo no normal $H$.
Por Wielandt 1964, p.13,
Proposición 7.1 Si el grupo transitive G contiene un subgrupo normal intransitivo N diferente de 1, entonces [...] las órbitas de G forman un sistema completo de bloques de G.
Al ser intransitivo, G tiene que estabilizar algo más pequeño que S en sí mismo. Si G es un estabilizador de punto, entonces {a} es una órbita para G y así serán todos los elementos de S.
Al revés (proposición 7.2), dado un sistema de bloques, los elementos de G permutan los bloques a través de un homomorfismo natural. El núcleo de este homomorfismo estabiliza cada bloque, y es un subgrupo normal.
) si mezclamos las esquinas, las giramos, luego deshacemos el mezclado, obtenemos un giro.
Primero, asumamos que la acción del grupo es transitiva. Entonces todos los estabilizadores son conjugados entre sí. Por lo tanto, si el estabilizador es normal, entonces todos los elementos de $S$ tienen el mismo estabilizador. Esto es equivalente a decir que si $g$ fija un punto de $s$, entonces fija todos. Esto significa que la acción inducida de $G/G_s$ en $S$ es regular: Para todo $s,t \in S$, hay un único $g \in G/G_s$ tal que $gs=t$. En particular, $|G/G_s| = |S|$.
Ahora, incluso si la acción no es transitiva, todavía puedes decir todo lo anterior sobre la órbita de $s$, un punto para el cual $G_s$ es normal.
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Una observación estúpida: debido a la fórmula $G_{gs} = gG_sg^{-1}$, si la acción es transitiva, se factoriza a través del cociente $G/G_s$.
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@PseudoNeo y además, la acción de $G/G_s$ es regular, por lo tanto podemos identificar $S$ con $G/G_s$ y la acción por multiplicación izquierda (o derecha)