Voy a suponer aquí GCH. Si tiene, entonces ¿por qué tenemos la igualdades $2^{\lt\kappa}=\kappa$ para cada $\kappa$ y $\kappa^{\lt\kappa}=\kappa$ % regular todos $\kappa$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Recordemos la definición de $\lambda^{<\mu} = \sup\{\lambda^\nu\mid\nu<\mu\}$.
Asumir la GCH, que $\kappa$ ser un cardenal regular.
$$2^{<\kappa} = \sup\{2^\lambda \mid \lambda<\kappa\} = \sup\{\lambda^+\mid\lambda<\kappa\} = \kappa$$
Donde la última igualdad sostiene desde entonces si $\kappa$ es un sucesor de cardenal es $\lambda^+$ $\lambda<\kappa$; y si es un habitual limitar el cardenal entonces es el límite de los cardenales sucesor debajo de él.
$$\kappa^{<\kappa} = \sup\{\kappa^\lambda\mid\lambda<\kappa\} = \kappa$$
La última igualdad se deduce: $$\begin{align} \kappa^\lambda &=\kappa\cdot\sup\{\mu^\lambda\mid\mu<\kappa\}\\ &\le\kappa\cdot\sup\{\max\{2^\mu,2^\lambda\}\mid\mu<\kappa\}\\ &=\kappa\cdot\sup\{\max\{\mu^+,\lambda^+\}\mid\mu<\kappa\}\\ &=\kappa\cdot\kappa=\kappa \end {Alinee el} $$
