Considere la posibilidad de las bacterias Gram-Schmidt proceso de $r : GL(n) \rightarrow O(n)$ que envía invertible matrices para ortogonal de matrices. Tengo que mostrarle esto es una deformación de retracción y, por restricciones de $r$, establecer cada espacio es una deformación de retirar de la siguiente: $SO(n) \subset SL(n) \subset GL^{+}(n)$ donde $GL^{+}(n)$ es el conjunto de las matrices con determinante positivo.
Yo no soy muy experimentado con el álgebra lineal, así que estoy teniendo algunas dificultades en este. La idea que yo tenía era la de definir, para los vectores $u, v \in R^{n}$ y real $t \in [0, 1]$, la alteración de la proyección: $P(u, v, t) = \displaystyle\frac{<u, (1 - t)u + tv> u}{<u, u>}$.
Entonces tendríamos la homotopy $H((a_{1}, ..., a_{n}), t) = (w_{1}, ..., w_{n})$ donde
$w_{1} = a_{1}$
$w_{2} = a_{2} - P(w_{1}, a_{2}, t)$
. .
$w_{n} = a_{n} - \displaystyle\sum_{i = 1}^{n - 1} P(w_{i}, a_{n}, t)$.
Pero en realidad, ahora que lo pienso esto no funciona, porque realmente no puedo garantizar es invertible para todos los $t$. No tengo otras ideas.
