Probar: Si $|a_n|$ ' t convergen a $\infty$ $a_n$ debe tienen un límite finito parcial.

Question

Demostrar: Si $|a_n|$ no converge a $\infty$ $a_n$ debe tener un número finito parcial límite.

Mis pensamientos:
si $|a_n|$ no converge a $\infty$ debe haber otras dos posibilidades:

1. $|a_n|$ converge a un número finito, $L$
2. $|a_n|$ no tiene un límite en absoluto (ni finito ni $\infty$)

para la opción #1, se puede inferir $a_n$ está delimitado por $L$ y tiene un converge parcial máximo (de BW Teorema).

EDITAR:
El correcto demanda es demostrar $a_n$ tiene un número finito parcial límite.
para la opción #1 he demostrado que el uso de BW Teorema.
Ahora tengo que demostrar $a_n$ tiene un parcial de límite finito para la opción #2

Answer 1

Si no converge a infinito, entonces debe tener una subsecuencia acotada (si no tuviera subsecuencia acotada, sería converger a infinito), esta subsecuencia acotada luego tiene una subsecuencia convergente, que en sí es una subsecuencia de la secuencia original.

Answer 2

Tenemos $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ si y sólo si $\liminf_{n\to \infty} a_n = \limsup_{n\to \infty} a_n =L$. Aquí $L$ puede ser finito o infinito. Si $L=\infty$, tenemos algo más fuertes y concluir $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ si y sólo si $\liminf_{n \to \infty} a_n = L$. Es suficiente utilizar datos sobre el liminf.

Answer 3

Esto es básicamente la misma respuesta como matemático:

Para cada entero $m$ definimos

$$A_m:= \{ n | a_n \in [m,m+1) \} \,.$$

Si todos los $A_m$ son finitos, entonces es fácil probar que $$\lim_n |a_n| =\infty \,.$$ De hecho, para cada entero positivo $M$ hemos $$|a_n| >M$$si y sólo si $n$ no está en el conjunto finito $\cup_{k=-M}^m A_k$. En particular, con $j$ siendo el elemento más grande en este juego tenemos $$n > j \Rightarrow |a_n| >M \,.$$

Por lo tanto, algunos $A_m$ debe ser infinito. Esta $A_m$ define claramente delimitado larga, y por lo tanto, podemos encontrar una larga de lo que es convergente.

Answer 4

Dejar $a_n=(-1)^n$. Entonces$|a_n|$ converge a$1$ pero$a_n$ no converge.