¿Convergen $\int _0^{\infty }\:\frac{1}{1+x^2\left(\sin x\right)^2}\ \operatorname dx$?

Question

He estado tratando de probar la siguiente integral:

$$\int _0^{\infty }\:\frac{1}{1+x^2\left(\sin x\right)^2}\ dx$$

diverge (por favor corregirme si me equivoco).

He intentado utilizar comparación diferentes pruebas (ya que es una integral de una función positiva) sin éxito.

¿Alguna idea?

Answer 1

La integral nos alejara si $x^2\sin^2(x)$ era "muy pequeño" al$x$, cerca de un múltiplo de $\pi$. El uso de la periodicidad de las $\sin(x)$, podemos examinar el comportamiento de cerca de $k\pi$ por el cambio y mirando $$ (x+k\pi)^2 \sin^2(x) \approx (x+k\pi)^2 x^2$$ para $x$ cerca de $0$. Esto es válido para muy pequeño $x$ a través de la polinomio de Taylor, en una forma que pueda ser rigurosa.

Para $\lvert x \rvert < \frac{1}{2k\pi}$ ( $k \geq 1$ ), tenemos que $$(x+k\pi)^2 \sin^2(x) \leq 2.$$ Así, por $\lvert x \rvert < \frac{1}{2k\pi}$, tenemos $$ \frac{1}{1+(x+k\pi)^2 \sin^2(x)} \geq \frac{1}{3}.$$

Con esto en mente, podemos escribir $$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1 + x^2\sin^2(x)}dx &= \sum_{k \geq 0} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{1}{1 + x^2\sin^2(x)}dx \\ &= \sum_{k \geq 0} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1 + (x+k\pi)^2\sin^2(x)}dx. \end{align}$$ Ahora, como todo en la vista es positivo, $$ \begin{align} \sum_{k \geq 0} \int_0^\pi \frac{1}{1 + (x+\pi)^2\sin^2(x)}dx &\geq \sum_{k \geq 1} \int_0^{\frac{1}{2\pi k}} \frac{1}{1 + (x+k\pi)^2\sin^2(x)}dx \\ &\geq \sum_{k \geq 1} \int_0^{\frac{1}{2\pi k}} \frac{1}{3} dx\\ &\geq \sum_{k \geq 1} \frac{1}{6\pi k}, \end{align}$$ que diverge.

En otras palabras, creo que el $x^2\sin^2(x)$ es "muy pequeño" al $x$ es cerca de $k\pi$, y que es "muy pequeño" en una región que decae linealmente con $k$. Y esto es suficiente para demostrar que la integral diverge.

Answer 2

¿Podemos estar de acuerdo que $1+x^2(\sin x)^2$ evalúa a 1 derecha periódicamente?

A continuación, puede definir una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ para que:

$$f(x) = 0 \text{ if } {1\over1+x^2\sin(x)^2}\le {1\over 2}$$ $$f(x) = {1\over 2} \text{ if } {1\over1+x^2\sin(x)^2}\gt {1\over 2}$$

Entonces es fácil demostrar $$\int_0^\infty f(x)dx$ $ diverge.

Y ya que tenemos por construcción: $$\forall x\in \mathbb{R}^+, 0\le f(x) \lt {1\over1+x^2\sin(x)^2} $ $

Entonces se puede concluir que $\int_0^\infty {1\over1+x^2\sin(x)^2}$ diverge demasiado.

Answer 3

La idea es obligada la integral de abajo de los intervalos donde $\displaystyle \frac{1}{1+x^2\left(\sin x\right)^2}$ tiene espinas, es decir, es suficiente para encontrar algo de $\varepsilon_k$ tal que $$\sum_{k\geq1}\int_{k\pi -\varepsilon_k}^{k\pi +\varepsilon_k}\frac{1}{1+x^2\left(\sin x\right)^2}dx$$ diverge.

En cada uno de estos intervalos, desde $\sin^2(x)$ $\pi$- periódico, $1+x^2\sin^2(x)\leq 1+(k\pi + \varepsilon_k)^2\sin^2(\varepsilon_k)$, por lo tanto $$\sum_{k=1}^N\int_{k\pi -\varepsilon_k}^{k\pi +\varepsilon_k}\frac{1}{1+x^2\left(\sin x\right)^2}dx \geq \sum_{k=1}^N \frac{2 \varepsilon_k}{1+(k\pi + \varepsilon_k)^2\sin^2(\varepsilon_k)}$$

Algunos áspero asymptotics sugieren $$\frac{2 \varepsilon_k}{1+(k\pi + \varepsilon_k)^2\sin^2(\varepsilon_k)}\sim \frac{2 \varepsilon_k}{\pi^2k^2\epsilon^2_k}=\frac 2\pi \frac{1}{k^2\varepsilon_k} $$

Establecimiento $\varepsilon_k=\frac 1k$ parece, por tanto, como una buena idea, ya que nos quedaría algo como la serie armónica, que diverge.

De hecho, $$\begin{align}\frac{ \frac 2k}{1+(k\pi + \frac 1k)^2\sin^2(\frac 1k)}&=\frac 2k \frac{1}{1+(\pi^2k^2+2\pi +\frac{1}{k^2})(\frac{1}{k^2}+o(\frac{1}{k^2}))} \\ &=\frac 2k \frac{1}{1+\pi^2 + o(1)}\\ &\sim \frac{2}{1+\pi^2}\frac{1}k \end{align}$$

Con esta elección de $\varepsilon_k$, $\displaystyle \sum_{k\geq 1}^\infty \frac{2 \varepsilon_k}{1+(k\pi + \varepsilon_k)^2\sin^2(\varepsilon_k)}$ se aleja, la que concluye la prueba.

Answer 4

El integrando contiene una serie de picos de altura de la unidad en torno a $k\pi$. Si podemos demostrar que la anchura de los picos disminuye lentamente, hemos terminado.

Tenemos

$$\frac1{1+x^2\sin^2x}\ge\frac12$$ cuando

$$|x\sin x|\le1$$ or, with $x=k\pi+t$ and $|t|<\pi$,

$$|(k\pi+t)\sin t|\le|(k\pi+t)t|\le1.$$

La condición se ha cumplido con los $$|t|\le\frac1{4k}$$ de modo que el área total diverge (el área de un pico es de un mínimo de $\dfrac12$ veces el ancho).