¿Cómo es un grupo de simples grupos?

Question

He leído más de una vez la analogía entre la simple grupos y números primos, lo que indica que cualquier grupo que se construye a partir de simple los grupos, al igual que cualquier número es construido a partir de los números primos.

Recientemente he empezado a auto-estudio de los subgrupos de la serie, que se supone para explicar la analogía, pero no estoy completamente seguro de que yo entiendo como "cualquier grupo de simples grupos".

Dado un grupo de $G$ con la composición de la serie $$ \{e\}=G_0 \triangleleft G_1\triangleleft \dots \triangleleft G_{r-1} \triangleleft G_r=G$$

a continuación, $G$ ha asociado el simple factor de grupos de $H_{i+1}=G_{i+1}/G_i$. Pero, ¿cómo se "construye" a partir de ellos?

Bien, si tenemos los simples grupos de $H_i$, entonces podemos decir que el subnormal de subgrupos en la composición de la serie puede ser recuperado por tomar ciertas extensiones de $H_i$: $$ 1 \to K_i \to G_i \to H_i \to 1$$

donde $H_i = G_i/G_{i-1}$, $K_i\simeq G_{i-1}$.

A continuación, $G$ es construido a partir de algunos determinada únicamente (Jordan-Hölder) simple grupos $H_i$ tomando extensiones de estos grupos.

Esta descripción exacta?

Ahora la pregunta es: esta descripción parece excesivamente teórico para mí. No sé cómo las extensiones de $H_i$ aspecto, y no entiendo cómo la $G$ pone estos grupos juntos. Podemos describir de forma más explícita de cómo un grupo de $G$ es de simple grupos?

EDIT: se me olvidó un (no tan pequeños) detalles. La explicación anterior funciona para finito de grupos, o, más en general, para grupos, con una composición de la serie. Pero, ¿qué acerca de los grupos que no admite una composición de la serie? Es correcto decir que son construidos a partir de simple los grupos?

Answer 1

Todo lo que dices es correcto: el sentido de que un grupo finito es "construido" a partir de su simple de Jordan-Hölder factores por los repetidos extensiones. Pero este "edificio" el proceso es mucho más complicado para los grupos de la análogos proceso de construcción de los números enteros de los números primos porque dado un (multi)conjunto de bloques de construcción-es decir, una lista limitada $\mathcal{H} = \{ \{H_1,\ldots,H_n\} \}$ finitos simples grupos-no será, en general, varios (un número finito de, obviamente, pero tal vez un gran número) nonisomorphic grupos $G$ con factores de composición $\mathcal{H}$. El ejemplo más simple de esto ya ha sido dada por Zhen Lin en un comentario: si

$\mathcal{H} = \{ \{ C_2, C_2 \} \}$,

a continuación, los dos grupos con estos factores de composición se $C_4$$C_2 \times C_2$.

Parece ser una hipótesis de trabajo de expertos en el campo que es inútil esperar una buena solución para el problema con la extensión. Por ejemplo, considere el caso especial $\mathcal{H} = \{ \{ C_p,\ldots,C_p \} \}$, en la que cada la composición factor es cíclico de orden $p$ -- es decir, de un número finito de $p$-grupo. Se sabe que la función de $f(p,n)$ que cuenta el número de clases de isomorfismo de grupos finitos de orden $p^n$ crece muy rápidamente como una función de la $n$ fijos $p$. Por ejemplo, ver aquí una referencia al hecho de que $f(2,9) = 10494213$.

Sin embargo, el grupo problema con la extensión es un importante e interesante, es una de las fuentes históricas para el campo de grupo cohomology y todavía juega un papel importante, y, en muchos casos especiales se puede decir algo agradable. Pero en general, el "programa" de la clasificación de todos los grupos finitos (i) la clasificación de todos los simples grupos y (ii) la determinación de todos los grupos finitos con un conjunto determinado $\mathcal{H}$ de la composición de los factores no parece realista: el paso (i), fue increíblemente duro, pero al final se puede hacer. Se ve muy fácil en comparación a paso (ii)!

Por último, pregunte acerca de infinito grupos. Aquí el Jordan-Hölder teoría se extiende precisamente a los grupos de $G$ que admitir al menos una composición de la serie, y un estándar (necesaria y suficiente) criterio para esto es que no hay secuencias infinitas de subgrupos

$H_1 \subsetneq H_2 \subsetneq \ldots$

con cada una de las $H_i$ normal en $H_{i+1}$

o

$H_1 \supsetneq H_2 \supsetneq \ldots$

con cada una de las $H_{i+1}$ normal en $H_i$.

Así, por ejemplo, un infinito cíclico grupo $\mathbb{Z}$ no satisface el descendente de la cadena de condición en subgrupos y que no tiene ningún sentido (para mí, al menos) en que $\mathbb{Z}$ es construido simple grupos.

Answer 2

Por supuesto, Jordan–Hölder muestra cómo crear grupos de simples factores de composición. Sin embargo, hay otras maneras para diseccionar grupos (grupos finitos, al menos), que busque la "parte esencial" de un grupo finito de una manera diferente. Por ejemplo, deje $G$ ser finito, solucionable grupo. A continuación, $G$ tiene un único más grande nilpotent normal subgrupo, a que su instalación subgrupo $F(G)$. El Montaje de los subgrupos satisface $C_{G}(F(G)) = Z(F(G)),$ y se deduce que el factor de grupo $G/F(G)$ es isomorfo a un subgrupo del exterior automorphism grupo de $F(G)$. Desde $F(G)$ es un producto directo de $p$-grupos, su exterior automorphism grupo es un producto directo de exterior automorhism grupos de $p$-grupos. De hecho, $G/F(G)$ es isomorfo a un grupo de la forma $X_1 \times \ldots \times X_t,$ donde cada una de las $X_i$ es isomorfo a un subgrupo de un completamente reducible solucionable subgrupo de ${\rm GL}(n_i,p_i)$ para algunos entero $n_i$ y prime $p_i$.

Para no solucionable grupos, la situación es más complicada, y su comprensión llegó más tarde. H Bender introdujo la generalización de Ajuste de los subgrupos $F^{*}(G)$ de un general finito grupo $G$. Es saitisfies $C_{G}(F^{*}(G)) = Z(F(G))$, y todavía es el caso que $G/F^{*}(G)$ es isomorfo a un subgrupo del exterior automorphism grupo de $F^{*}(G)$. El grupo $F^{*}(G)$ es el producto de un par de normal subgrupos $F(G)$ (el habitual Ajuste subgrupo) y $E(G)$. Los grupos de $E(G)$ $F(G)$ centralizar el uno al otro, y son característicos en $G$. Un componente de $G$ es un subnormal subgrupo $L$ tal que $L = [L,L]$ $L/Z(L)$ es simple. Resulta que los distintos componentes de centralizar el uno al otro. El grupo $E(G)$ es el producto central de todos los componentes de $G$ (e $G$ permutes sus componentes por conjugación). El automorphism grupo de $E(G)$ tiene un subgrupo normal $K$ consta de los automorfismos que solucionar cada componente, y ${\rm Aut}(E(G))/K$ es una permutación de grupo de grado $n,$ donde $G$ $n$ componentes. También, $K/E(G)$ es isomorfo a un subgrupo de un producto directo de exterior automorphism grupos finitos simples grupos. Así, la estructura de $F^{*}(G)$ controles de la estructura de $G$ a en gran medida. Este punto de vista fue muy poderosa en las etapas posteriores en la clasificación de la finitos simples grupos, y ocupa un lugar destacado en los intentos de revisar y simplificar su prueba. Tenga en cuenta que $F^{*}(G)$ está construido de una manera muy transparente camino de su propia composición de los factores, que se encuentran entre los factores de composición de $G$.

Answer 3

En Dummit & Foote "Álgebra Abstracta" que discutir brevemente el Hölder Programa:

1. Clasificar todos los finitos simples grupos.
2. Encontrar todas las formas de "poner a simple grupos juntos" para formar otros grupos.

Que escribir lo siguiente en la parte 2 del programa (el llamado problema con la extensión de grupos finitos):

La parte (2) de la Hölder Programa, llamado a veces el problema con la extensión, era más bien vagamente formulados. Una descripción más precisa de "poner a los dos grupos juntos" es: cada uno de los grupos $A$$B$, se describe cómo obtener todos los grupos $G$ que contiene un subgrupo normal $N$ tal que $N \cong B$$G/N \cong A$. Por ejemplo, si $A=B=Z_2$, no son precisamente dos posibilidades para $G$, es decir, $Z_4$ $V_4$ [Klein cuatro grup] y el Hölder Programa busca describir cómo los dos grupos de orden 4 podría haber sido construido a partir de dos $Z_2$'s sin un conocimiento a priori de la existencia de los grupos de orden 4. Esta parte de la Hölder Programa es extremadamente difícil, incluso cuando los grupos involucrados son de la pequeña orden. Por ejemplo, todos los factores de composición de un grupo de $G$ tiene orden 2 si y sólo si $|G| = 2^n$, para algunas de las $n$ (...). Se sabe, sin embargo, que el número de nonisomorphic grupos de orden $2^n$ crece (exponencialmente) como una función de la $2^n$, por lo que el número de maneras de colocar grupos de 2-power juntos es no acotada. Sin embargo, hay una gran cantidad de interesantes y potentes técnicas en esta sutil de la zona que sirven para desentrañar la estructura de clases de los grupos.

Answer 4

Has conocido ya a la noción de un semidirect producto?