Buscar $1^2+3^2+...99^2$ dado $1^1+2^2+...+100^2$ y $1^1+2^2+...+50^2$

Question

Sabemos que $1^1+2^2+...+100^2=338350$ y $1^1+2^2+...+50^2=42925$. Encontrar $1^2+3^2+...99^2$.
No sé realmente dónde empezar. He intentado encontrar un patrón en las secuencias, pero no había ninguno. ¿Puedo yo sustituir valores para las ecuaciones?

Answer 1

Esto debería ayudar a: $$2^2+4^2+6^2+\dots+100^2=2^2(1^2+2^2+3^2+\dots+50^2)=\dots$ $

Answer 2

Como se mencionó en los comentarios la suma de la serie se puede derivar de la siguiente manera

$$\sum_{i=1}^{2n}i^2=1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$ $ Del mismo modo, $$\sum_{i=1}^{n}{(2i)}^2=2^2+4^2+...+(2n)^2=4\sum_{i=1}^{n}{i}^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ $

Subtacting da suma requiere $$\sum_{i=1}^{n}{(2i-1)}^2=1^2+3^2+...+(2n-1)^2=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n(2n+1)(4n+1-2n-2)}{6}=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$ $

Poner $n=50$ para obtener la solución requerida. que da %#% $ #%