Utilizando L ' regla de Hopital, evaluar $\lim_{x \to 0} {\left( \frac {1} {x^2}-\frac {\cot x} {x} \right)}$

Question

Usando la Regla de L'Hospital, evaluar $$ \lim_{x \to 0} {\left( \frac {1} {x^2}-\frac {\cot x} {x} \right)}$$

Me parece que esta pregunta weired. Si se combinan los dos términos en una sola fracción, se consigue$$\lim_{x \to 0} {\frac {1-x\cot x} {x^2}}=\frac10=\infty$$

Si seguimos la Regla de L'Hospital, esto es $\infty-\infty$ formulario. Seguimos el siguiente proceso para convertirlo en $\frac00$formulario.$$\infty_1 -\infty_2=\frac 1{\frac 1{\infty_1}}-\frac 1{\frac 1{\infty_2}}=\frac {\frac 1{\infty_2}-\frac 1{\infty_1}}{{\frac 1{\infty_1}}{\frac 1{\infty_2}}}$$

Así llegaremos $$\lim_{x \to 0} {\left( \frac {1} {x^2}-\frac {\cot x} {x} \right)}=\lim_{x \to 0} {\frac {x\tan x-x^2}{x^3\tan x}}$$

Si usted mantiene la diferenciación de la utilización de la regla va a deshacerse de la forma de $\frac00$ en el tercer paso de la diferenciación, lo que te da la respuesta $1 \over 3$. Este método es muy tedioso. Confía en mí, usted no quiere tratar.

Me pregunto ¿hay una forma más inteligente de resolver esta cuestión? Gracias.

Answer 1

Es suficiente una sola aplicación de L'Hospital:

$$\frac {1} {x^2}-\frac {\cot x} {x}=\frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}\xrightarrow{\text{L'Hospital}}\frac{x\sin x}{2x\sin x+x^2\cos x}=\frac{\dfrac{\sin x}x}{2\dfrac{\sin x}x+\cos x}\xrightarrow{\text{sinc}}\frac1{2+1}.$$

Answer 2

Si no desea utilizar a L'Hospital, supongo que expansiones de Taylor son el buen camino a seguir.

Considerando $$y=\frac {x\tan( x)-x^2}{x^3\tan (x)}$$ and $$\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+O\left(x^7\right)$$ we then have $% $ $y=\frac{\frac{x^4}{3}+\frac{2 x^6}{15}+O\left(x^7\right)}{x^4+\frac{x^6}{3}+\frac{2 x^8}{15}+O\left(x^9\right)}=\frac{1}{3}+\frac{x^2}{45}+O\left(x^3\right)$que muestra el límite y cómo se aborda.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \lim_{x\to0}x\cot x=\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\cos x=1 $$ por lo $\dfrac{1-x\cot x}{x^2}$ es una forma indeterminada $0/0$$0$.

Claro que puedes usar l'Hôpital: $$ \lim_{x\to0}\dfrac{1-x\cot x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{-\cot x+\frac{x}{\sin^2x}}{2x}= \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x\cos x}{2x\sen^2x} $$ Sin embargo, esto no parece muy atractivo, pero no es difícil en absoluto. Observe que usted puede calcular su lugar $$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x\cos x}{2x^3}= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2x+\sin^2x}{6x^2}= \lim_{x\to0}\frac{2\sin^2x}{6x^2} $$ Alternativamente, usted puede hacer $$ \frac{1}{x^2}-\frac{\cot x}{x}= \frac{1}{x^2}-\frac{\cos x}{x\sin x}= \frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x} $$ que es mucho mejor: $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}= \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\frac{x}{\sin x} $$ Desde el límite de la segunda fracción es $1$, podemos calcular $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}= \lim_{x\to0}\frac{x\sin x}{3x^2} $$ que es bastante fácil.

Answer 4

Mantener la fracción $$\frac{1-x\cot x}{x^2} $ $

y el hecho de que $(\cot)'(x) = -1-\cot^2x$. De esta manera el segundo derivado de $1-x \cot x$ no es demasiado malo para calcular en todas.

Answer 5

Una serie de Laurent es una expansión de Taylor con exponentes negativos. La expansión de Laurent $\cot(x)$ es

$$\cot(x) \approx \frac{1}{x} - \frac{x}{3}-O(x^3) \\ \lim_{x \to 0} \left (\frac {1} {x ^ 2}-\frac{\cot(x)}{x}\right) \rightarrow \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{3} + O(x^2) = \frac{1}{3}$$