¿Qué ocurre con mi argumento para derivar a la hamiltoniana de la relatividad?

Question

En la Relatividad General (y en especial) el Lagrangiano para una partícula de masa $m$ en ausencia de otras fuerzas que la gravedad es

$$L=m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}$$

donde $U^\mu$ es el cuatro de velocidad. En ese caso se puede derivar el impulso $p_\mu$ por

$$p_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial U^\mu}=\dfrac{\partial}{\partial U^\mu}m\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}$$

$$p_\mu=\dfrac{mg_{\alpha\beta}}{2\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}}\left(\delta^\alpha_\mu U^\beta+\delta^\beta_\mu U^\alpha\right)=\dfrac{mg_{\mu \alpha}U^\alpha}{\sqrt{g_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta}}$$

Si nos parametrizar el worldline por el tiempo apropiado, $\tau$ $L(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))=m$ y obtenemos de la raíz cuadrada en el denominador de la cual es sólo $1$. Entonces

$$p_\mu= m g_{\mu\alpha}U^\alpha,$$

y estos son los componentes de un covector. Esto conduce directamente al impulso cuatro-vector

$$p^\mu= m U^\mu.$$

Todo funciona aquí. Ahora quiero calcular la energía. Bien el Hamiltoniano como siempre debería ser

$$H=p_\mu U^\mu-m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}=m g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu-m\sqrt{g_{\mu \nu}U^\mu U^\nu}.$$

Pero si las cosas son parametrizadas por propertime, cuando calculamos el $H$ sobre el camino, que es $H(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))$ cero!

Lo que yo esperaba era conseguir $H = p^0$.

¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Por qué estoy recibiendo cero?

Answer 1

1. El problema es que la transformación de Legendre de la 4-velocidad de 4-momentum es singular: Los 4 componentes de la 4-momentum $p_{\mu}$ se ve obligado a vivir en la masa-shell $$p_{\mu}g^{\mu\nu}p_{\nu}~=~\pm m^2. \tag{A}$$ Aquí el $\pm$ se refiere a la elección de Minkowski convención de signos $(\pm,\mp,\mp,\mp)$. Por lo tanto, se trata de un limitado sistema. El 4-momentum sólo tiene 3 componentes independientes.

2. Cómo realizar la singular transformación de Legendre para un relativista punto de partículas se explica, por ejemplo, en este Phys.SE post.

3. Resulta que la aparición de la restricción (A) y la fuga de energía/Hamiltonianos reflejar la worldline reparametrization la invariancia de la modelo. Véase también por ejemplo, este Phys.SE post.