En la Relatividad General (y en especial) el Lagrangiano para una partícula de masa $m$ en ausencia de otras fuerzas que la gravedad es
$$L=m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}$$
donde $U^\mu$ es el cuatro de velocidad. En ese caso se puede derivar el impulso $p_\mu$ por
$$p_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial U^\mu}=\dfrac{\partial}{\partial U^\mu}m\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}$$
$$p_\mu=\dfrac{mg_{\alpha\beta}}{2\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}}\left(\delta^\alpha_\mu U^\beta+\delta^\beta_\mu U^\alpha\right)=\dfrac{mg_{\mu \alpha}U^\alpha}{\sqrt{g_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta}}$$
Si nos parametrizar el worldline por el tiempo apropiado, $\tau$ $L(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))=m$ y obtenemos de la raíz cuadrada en el denominador de la cual es sólo $1$. Entonces
$$p_\mu= m g_{\mu\alpha}U^\alpha,$$
y estos son los componentes de un covector. Esto conduce directamente al impulso cuatro-vector
$$p^\mu= m U^\mu.$$
Todo funciona aquí. Ahora quiero calcular la energía. Bien el Hamiltoniano como siempre debería ser
$$H=p_\mu U^\mu-m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}=m g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu-m\sqrt{g_{\mu \nu}U^\mu U^\nu}.$$
Pero si las cosas son parametrizadas por propertime, cuando calculamos el $H$ sobre el camino, que es $H(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))$ cero!
Lo que yo esperaba era conseguir $H = p^0$.
¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Por qué estoy recibiendo cero?
