Si la integral es cero, entonces la función es cero casi en todas partes

Question

He estado intentando demostrar la siguiente afirmación: Supongamos un espacio de medida $(X, M, \mu)$. Si $\int_E f \: d\mu = 0$ para todo conjunto medible $E \in M$, entonces $f = 0$ casi en todas partes en $X$. Definitivamente lo he demostrado para el caso cuando $\mu$ es una medida positiva, pero el caso complejo me elude completamente. Ya he demostrado que si $f = u + iv$, donde $u$ y $v$ son funciones reales, entonces $u = 0$ casi en todas partes y $v = 0$ casi en todas partes. Para mí parece muy claro entonces que $f = 0$ casi en todas partes, pero las definiciones formales con las que estamos trabajando son las siguientes:

Una propiedad P se cumple casi en todas partes en un conjunto E si hay un conjunto medible N tal que P se cumple en E \ N, y la medida de N es cero.

Por lo tanto, sé que existen conjuntos $A_u$ y $A_v$ con medida cero tal que $u = 0$ en $X \setminus A_u$, y análogo para $A_v$. Lo que aún no sé es si $A_u \cup A_v$ tiene medida cero.

O tal vez esté yendo por mal camino.

Answer 1

Si $\mu$ es una medida compleja, entonces existe una función medible $h$ con $|h(x)| = 1$ para todo $x \in X$ tal que $$ d \mu = h \ d|\mu|.$$ Aquí, $|\mu |$ es la medida de variación total asociada a $\mu$. Esta afirmación se sigue del teorema de Radon-Nikodym. (Ver Rudin 6.12.)

Dado que $\int_E f d \mu = 0$ para todos los conjuntos medibles $E$, se concluye que $$ \int_E f(x) h(x) d |\mu| = 0$$ para todos los conjuntos medibles $E$.

Pero la medida de variación total $|\mu |$ es una medida positiva! ¡De la discusión en los comentarios, sabemos que tu resultado se aplica a medidas positivas! Así que deducimos que $$ f(x) h(x) = 0$$ casi en todas partes con respecto a $|\mu|$.

Finalmente, $|h(x)| = 1$ para todo $x \in X$. Por lo tanto, $f(x) = 0$ casi en todas partes con respecto a $|\mu |$. Dado que cualquier conjunto nulo con respecto a $|\mu |$ también tiene medida cero con respecto a $\mu$, tu resultado sigue.