Integración numérica por singularidad integrable

Question

Hasta este momento he aprendido tres técnica numérica para encontrar la integración definitiva. Son fórmula Simpson, Trapezoidal y de Gauss-legendre. Lo triste es que no puedo aplicarlos teorema directamente de mi integración tiene cualquier singularidad integrable en el intervalo.

¿Me puede dar alguna técnica especial para que pueda utilizar estos teorema para ese tipo de integraciones?

Answer 1

Con una apertura de la cuadratura del método de Gauss-Legendre puede que no necesite para evaluar el integrando en el punto de singularidad. Sin embargo, al proceder de esta manera tendrá más probabilidades de resultar en una severa pérdida de precisión,

Si usted es afortunado, usted puede ser capaz de eliminar la singularidad con un cambio de variables. Por ejemplo, si $f \in C([0,1])$$0 < \alpha < 1/2$, entonces la integral impropia

$$\int_0^1 \frac{f(x)}{x^\alpha} \, dx,$$ puede ser transformado por el cambio de las variables de $t = x^\alpha$ a

$$\frac{1}{\alpha}\int_0^1 f(t^{1/\alpha})t^{(1 - 2\alpha)/\alpha}\, dt,$$

que es un buen integral y pueden ser manejados de manera eficiente por las técnicas que usted ha mencionado.

De manera más general, una comprensión del comportamiento asintótico de las integrando cerca de la singularidad es importante.

Answer 2

Los métodos numéricos estándar están diseñados para funciones lisas (o al menos suficientemente diferenciables) y no funcionan muy bien en presencia de una singularidad. Una cosa que puede funcionar bien es restar a la singularidad. Es decir, si quieres $\int_a^b f(x)\; dx$, trate de escribir $f(x) = g(x) + h(x)$ donde $g(x)$ tiene la singularidad pero es integrable en forma cerrada, mientras que $h(x)$ no tiene ninguna singularidad. Ver por ejemplo, estas notas mías.

Answer 3

Hay un par de métodos diferentes para lidiar con este problema. La cuadratura de gauss puede funcionar en algunos casos, puede absorber la singularidad en un seleccionados adecuadamente el peso de la función y, a continuación, proceder de la manera habitual con la construcción de los polinomios ortogonales, donde el producto interior se define el uso que el peso de la función.

Otro método es hacer un cambio de variables para eliminar la singularidad como se menciona en el LRD la respuesta, o se puede dividir el integrando en una singular pieza y un no-singular parte, como se menciona en Robert la respuesta israelí.

Un método de propósito general que no requiere de mucho esfuerzo para implementar es el Tanh-sinh de la cuadratura del método, aquí transformar una integral desde menos de 1 a 1 a uno sobre toda la recta real, las singularidades en los extremos, no va a causar problemas.

Answer 4

Idealmente, usted sabe algo acerca de el integrando en un barrio de la singularidad que le permita resolver su impacto. Por ejemplo, supongamos que usted desea $\int_0^1 f(x) dx$, pero $f$ tiene una singularidad en $x=0$, comportándose como $x^{-1/2}+O(1)$ no, y no tiene otras singularidades. A continuación, puede escribir la integral como $\int_0^\delta x^{-1/2} dx + \int_0^\delta f(x)-x^{-1/2} dx + \int_\delta^1 f(x) dx$ donde $\delta>0$ es un parámetro de ajuste. A continuación, el primer término es exactamente $2\delta^{1/2}$ y los otros términos no tienen singularidades. Usted puede hacer una similar "regularizar" la transformación mediante un cambio de variables como la LRD sugerido.

Usted podría también utilizar adaptación de cuadratura en esta situación. Esencialmente, si la singularidad es de orden $-1<p<0$, entonces cualquier razonable de la cuadratura del método en ese intervalo será de orden $p+1$, por lo que la extrapolación de Richardson puede aplicarse, a condición de que usted sabe exactamente lo $p$ es. Tenga en cuenta que esto requiere mucho menos detallada asintótica de la primera propuesta en el párrafo anterior; al igual que la segunda sugerencia de que el párrafo, sólo se requiere conocer el orden de la singularidad. Puedo entrar en detalles sobre esto si te gusta, no dudes en comentar.

Si repetidamente tratando con el mismo "tipo" de la singularidad de comportamiento, tales como una singularidad de la orden de $-1/2$ en ambos extremos, entonces puede ser vale la pena desarrollar una cuadratura de Gauss método (o puede ser en un caso en que una norma se aplica). Esto simplifica el problema de la manipulación de la singularidad, ya que permite tratar con mucho más simple integrands, pero todavía requieren que usted sea capaz de calcular las integrales singulares con el fin de calcular los nodos y pesos.

Si usted no sabe nada cuantitativa acerca de la singularidad, a continuación, acerca de todo lo que puedes hacer es adaptación de cuadratura. Por desgracia, la construcción habitual de adaptación de cuadratura, que utilizan métodos de extrapolación de Richardson va a caer a través de la presencia de una singularidad, ya que el orden de el método es diferente en la presencia de la singularidad, y usted necesita saber el orden exacto para saber cómo configurar su extrapolación de Richardson. Así que usted será atrapado con esencialmente "fuerza bruta", adaptación de la cuadratura del lugar: mantener localmente refinación varias veces hasta que la diferencia entre los sucesivos refinamientos es menor que la tolerancia. Este método no es matemáticamente seguro (en particular, puede no detectar no integrable singularidades incluso cuando están presentes), pero es posible que funcione en la práctica, de todos modos.

Si no sabes ni por donde la singularidad es...buena suerte.