¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes de razonamiento probabilístico para establecer resultados que tradicionalmente se considerarían análisis? Lo que quiero decir con "razonamiento probabilístico" es que el enfoque debe estar motivado por el tipo de intuición que se obtiene del estudio de la probabilidad, por ejemplo, los juegos, la información, el comportamiento de los paseos aleatorios y otros procesos. Esto es muy vago, pero espero que algunos de ustedes sepan a qué me refiero (y quizás tengan una mejor descripción de lo que es esta intuición).
Voy a poner un ejemplo que me viene a la mente y que me ha resultado bastante inspirador cuando he trabajado en los detalles. Toda función Lipschitz (en este caso, $[0,1] \to \mathbb{R}$ ) es absolutamente continua, y por lo tanto es diferenciable en casi todas partes. Podemos utilizar un argumento probabilístico para construir una versión de su derivada. Se empieza por considerar las descomposiciones diádicas estándar de [0,1), lo que nos da para cada n natural una partición de [0,1) en $2^{n-1}$ intervalos semiabiertos de anchura $1/{2^{n-1}}$ . Definimos una filtración dejando que $\mathcal{F}_n$ sea la sigma-álgebra generada por los conjuntos disjuntos en nuestra enésima descomposición diádica. Así, por ejemplo $\mathcal{F}_2$ es generado por $\{[0,1/2), [1/2,1)\}$ . Podemos entonces definir una secuencia de variables aleatorias $Y_n(x) = 2^n (f(r_n(x)) - f(l_n(x))$ donde $l_n(x)$ y $r_n(x)$ se definen como los puntos finales izquierdo y derecho de cualquier intervalo que contenga a x en nuestra enésima descomposición diádica (para $x \in [0,1)$ ). Así que básicamente estamos aproximando la derivada. La secuencia $Y_n$ es de hecho una martingala con respecto a $\mathcal{F}_n$ y la condición de Lipschitz en $f$ hace que sea una martingala acotada. Así que el teorema de convergencia de la martingala se aplica y tenemos que $Y_n$ converge en casi todas partes a algún $Y$ . Cálculos sencillos nos dan como resultado que efectivamente tenemos $f(b) - f(a) = \int_a^b Y$ .
Lo que realmente me gusta de esto es que una vez que se capta la idea, el resto se resuelve por sí solo. Cuando me encontré con el resultado era la primera vez que pensaba en las descomposiciones diádicas como generadoras de una filtración, pero parece una idea realmente natural. Parece mucho más estructurado que la vaga idea de "aproximación", ya que, por ejemplo, la condición de martingala controla el tipo de refinamiento que el siguiente término de aproximación debe producir sobre su predecesor. Y aunque podríamos haber alcanzado el mismo resultado fácilmente mediante un argumento tradicional, me parece interesante verlo desde múltiples puntos de vista. Así que ese es realmente mi objetivo aquí.
