Multicelular de A283190

Question

OEIS secuencia A283190 da el número de diferentes valores de $n \mod k$$1 \le k \le \lfloor n/2 \rfloor$. Sí, sé que esto es de tomar $\mod k$ como una función en lugar de una relación de equivalencia: $n \mod k$ se interpreta como el valor de$y \in [0,1,\ldots,k-1]$$n \equiv y \mod k$. Por lo tanto $A283190(14) = 3$$14 \equiv 0 \mod k$$k = 1,2,7$, y $14\equiv 2$ $k=3, 4, 6$ , y, finalmente,$14\equiv 4$$k=5$.

Equivalentemente, $A283190(n)$ $1$ más el número de $y \in [1,2,\ldots, \lfloor n/2\rfloor]$ tal que el menor divisor primo de $n-y$ es de menos de $(n-y)/y$.

Empíricamente, parece que $A283190(n)/n$ converge a una constante, aproximadamente $0.2296$. Ya sabemos algo acerca de la distribución estadística de por lo menos el primer divisores, supongo que esto puede ser demostrable. ¿Cuál es el valor real de la constante?

Answer 1

Al $k\in(n/3,n/2]$, lo $n=2k+r$, el resto a incluir la mitad de los números de$0$$n/3$.
Al $k\in(n/4,n/3]$, lo $n=3k+r$, el resto a incluir una tercera parte de los números de$0$$n/4$.
No hay nuevos restos pasar por $k\in(n/5,n/4]$$4k+r=2(2k)+r$;
una quinta parte de los números de$0$$n/6$; ...

Así que los restos incluyen:
* $(1-\frac12)$ el número de $[n/4,n/3)$;
* $(1-\frac12\frac23)$ el número de $[n/6,n/4)$;
* $(1-\frac12\frac23\frac45)$ el número de $[n/8,n/6)$;
* $(1-\frac12\frac23\frac45\frac67)$ el número de $[n/12,n/8)$

Tengo dos desgarbado las formas de la fracción:

$$\frac12\times\frac13+\frac14(\frac12\times\frac13)+\frac16(\frac12\frac23\frac15)+\frac18(\frac12\frac23\frac45\frac17)+\frac1{12}(\frac12\frac23\frac45\frac67\frac1{11})+...\\ =\sum_{p\P}\frac1{p(p+1)}\prod_{q<p\\q\P}\frac{q-1}p$$

donde $p$ $q$ son tomadas sobre los números primos.