Donde M es una matriz calcular una fórmula para M ^ n

Question

Que $$M = \begin{bmatrix} -7 & 8 \\ -8 & -7 \end{bmatrix}.$ $ encontrar fórmulas para las entradas de $M^n$ $n$ Dónde está un número entero positivo. (Sus fórmulas no deben contener números complejos). Su respuesta debe ser en forma de una matriz.

Diagonalized el % de forma $M = P D P^{-1}$y $M^n = P D^n P^{-1}$ $P$ Dónde está mi matriz de autovectores y $D$ son mi matriz de valores propios.

Mi respuesta final después de Diagonalización %#% $ #%

Parece que no puedo encontrar una respuesta no en términos de números complejos. ¿Alguien me puede mostrar lo que falto?

Answer 1

Intente esto:

Escribir sus autovalores en forma polar $re^{i\theta}$ en lugar de $x + iy$. (de modo que los dos valores propios son $re^{i\theta}, re^{-i\theta}$). Recordar coordenadas polares están dadas por $r^2 = x^2 + y^2$ $\tan(\theta) = y/x$ (por lo $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ si $x>0$ $\tan^{-1}(y/x) + \pi$ si $x<0$).

Entonces, cuando se compute $D^n$, la utilización De la fórmula de Moivre:

$$ \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n(\cos(\theta) + i \sin(\theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) \\ \left(re^{-i\theta}\right)^n = r^n(\cos(\theta) + i \sin(-\theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(-n\theta)) = r^n (\cos(n\theta) - i \sin(n\theta)) $$

mediante el uso de pares e impares propiedades de $\cos$$\sin$.

En particular, si tiene que agregar estos dos valores, se obtendrá $$ \left(re^{i\theta}\right)^n + \left(re^{-i\theta}\right)^n = 2r^n\cos(n\theta) $$

Answer 2

$$ M = (M + 7 I) + (-7)I $ $ y el viaje de dos piezas, así que puede usar el teorema del binomio. Así $M = 8J - 7 I,$ donde $$J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.$ $ qué $J^2, J^3, J^4?$

Que tocó el violín con ella más adelante, no veo ninguna solución verdadera "forma cerrada" excepto uno que ya tenía, con los números complejos. Así, los enteros son ciertas sumas de enteros que implican Coeficientes binomiales.

Answer 3

Escriba $$M={1\over\sqrt{113}}\pmatrix{\cos x&\sin x\cr-\sin x&\cos x\cr}$$ where $\tan x=-8/7$ (so $x=-\arctan(8/7) $). Prove by induction that $$\pmatrix{\cos x&\sin x\cr-\sin x&\cos x\cr}^n=\pmatrix{\cos nx&\sin nx\cr-\sin nx&\cos nx\cr}$$ and deduce that $% $ $M^n=113^{n/2}\pmatrix{\cos nx&\sin nx\cr-\sin nx&\cos nx\cr}$