Cómo demostrar que hay finito muchos mapas $\phi:\mathbb{N}\cup\{0\}\to \mathbb{N}\cup\{0\}$ con la propiedad que $\phi(ab)=\phi(a)+\phi(b)$ % todos $a,b\in \mathbb{N}\cup\{0\}$.
Respuestas
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voldemort
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Puedo ser falta algo- pero parece que el único mapa con esta propiedad es idénticamente $0$. La prueba es el siguiente:
$\phi(0.0)=\phi(0)+\phi(0)$ lo que implica que el $\phi(0)=0$.
Ahora, para cualquier $a \in \mathbb{N}$, $\phi(a.0)=\phi(a)+\phi(0)$ que significa $\phi(0)=\phi(a)+\phi(0)$ que implica $\phi(a)=0$ %.
Oli
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Nishant
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Las otras respuestas han demostrado que tal un mapa debe ser idénticamente cero. Si sólo requerimos el mapa ser un homomorfismo sobre los enteros positivos, la pregunta es un poco más interesante: los enteros positivos como un monoid multiplicative son generados por los números primos, y FTArithmetic significa que cualquier mapa conjunto de los números primos a $\mathbb N_0$ se extiende únicamente a un homomorfismo.
Curiosamente, no hay ninguna tal mapas si quitamos el cero de la imagen. Es decir, no hay mapas de $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $\phi(ab)=\phi(a)+\phi(b)$ todos los $a,b\in\mathbb{N}$. Esto es debido a que, mediante la toma de $a=1=b$, de nuevo vemos que el $\phi(a)=0$ todos los $a$, una contradicción como $0\not\in\mathbb{N}$.
Este argumento no implica que las otras respuestas, porque de hecho, hay infinitamente muchos de estos mapas $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$ (el anterior demuestra que el elemento $1$ nos asignan a $0$). A ver que hay infinitamente muchos de estos mapas, observe que puede asignar los números primos $p$ $1$o $0$ (y en otros lugares también!), y tan largo como cada primer se asigna a $1$ o $0$ tiene un homomorphism.
Así, un breve resumen:
Si $\phi:\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$, existe un único tal homomorphism.
Si $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{0\}$, hay infinitamente muchos de esos homomorphism.
Si $\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, no hay ningún tipo de homomorphisms.
Si $\phi:\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow\mathbb{N}$, no hay ningún tipo de homomorphisms (esto se deduce de 3).
