Interesante la "vida real" de las aplicaciones de los teoremas grave

Question

Como un estudiante que a veces uno encuentra ejercicios que preguntarle a resolver un lugar divertido de la vida real "problema", por ejemplo, recuerdo un ejercicio en el Krein-Milman teorema que fue algo como:

"Usted tiene un gran pizza circular con $n$ ingredientes. Demostrar que se puede dividir la pizza en forma equitativa entre $k$ de las personas, lo que significa que cada persona tiene un pedazo de pizza con exactamente $\frac{1}{k}$ de cualquiera de las $n$ topping".

Tiene más ejemplos que son especialmente interesantes o instructivo?

EDIT: Ya esto se está convirtiendo en una lista de chistes matemáticos o sofisticadas pruebas de hechos simples, voy a tener que ser más preciso de lo que me estaba pidiendo: "un ejemplo de la vida real de una forma didáctica utilizarse para motivar a un teorema matemático" (gracias a Lord_Gestalter para este gran texto).

Answer 1

$\sqrt[n]{2}$ no es racional para $n\geq 3$

Prueba: Si $\sqrt[n]{2}=\frac{p}{q}$ $q^n+q^n=p^n$ contradiciendo último teorema de Fermat.

Answer 2

En una taza de café, una molécula de café está en su ubicación original, aunque los contenidos son sometidos a la convección. Este es el punto fijo de Brouwer teorema.

Answer 3

El $n=2$ caso de Borsuk-Ulam teorema puede ser visualizado por decir existe algún par de antipodal puntos de la Tierra con la igualdad de temperaturas y presiones barométricas. Por supuesto, esto es suponiendo que la temperatura y la presión puede variar de forma continua.

Teorema de Ramsey dice que, si se le da una suficientemente grande grafo completo que ha sido arbitrariamente de color con $n$ colores, entonces uno puede encontrar un monocromática completa subgrafo de un tamaño en particular. Un ejemplo es el siguiente: Dado cualquier $2$colorear en $K_6$, entonces nos están garantizados para encontrar un monocromático subgrafo de tamaño $3$. Esto tiene una interesante vida real interpretación: Si invitamos a $6$ de las personas a una fiesta, entonces, al menos, $3$ de ellos debe de ser mutuo conocidos, o al menos $3$ de ellos debe de ser mutuo extraños.

Answer 4

Esto es bastante simple, pero interesante aplicación.

La media teorema del valor se utiliza en algunos Automático del número de placa de reconocimiento de sistemas, basado en el promedio de la medición de la velocidad. Usando el reconocimiento Óptico de caracteres, un sistema de computadora lee las placas de automóviles en varios puntos fijos a lo largo de una carretera, y, a continuación, utiliza la distancia entre estos puntos para calcular el coche de la velocidad media. Por la media-teorema del valor, el coche debe haber ido precisamente a esa velocidad en algún lugar entre los puntos fijos. Una multa puede ser emitido por consiguiente, si esta velocidad media supera el límite de velocidad.

El sistema es utilizado en varios países. Esto no está permitido en California, a través de la Sección 40801, la Velocidad de la Trampa de la Prohibición, del Código de Vehículos de California, en la que se lee

La paz No oficial u otra persona deberá utilizar una trampa de velocidad en la detención, o participar o ayudar en la detención de cualquier persona, de cualquier presunta violación de este código, ni tampoco la velocidad de la trampa de ser utilizados en la obtención de pruebas en cuanto a la velocidad de cualquier vehículo para el propósito de un arresto o enjuiciamiento en virtud de este código.

Answer 5

Compartí esta uno hace poco, y creo que es bastante divertido. El uso de cohomology, podemos demostrar que la alternancia suma de los coeficientes binomiales se desvanece: $$\sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1)^j=0.$$

Deje $X=(S_1)^n$ $n$- dimensiones toro. Por el Künneth fórmula, y por el cohomology de $S^1$, $H^j(X, \mathbf Q)$ tiene dimensión ${n \choose j}$. Por lo tanto, la característica de Euler de $X$ es

$$\chi(X)=\sum_{j=0}^n (-1)^j \mathrm{dim}_{\mathbf Q}H^j(X, \mathbf Q) = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1)^j.$$

Por otro lado, $X$ es un compacto de Lie del grupo; deje $\sigma$ ser un infinitesimal de traducción de $X \to X$. Por el Lefschetz teorema de punto fijo, $\chi(X)$ es igual al número de puntos fijos de $\sigma$, es decir, $0$.