En ordinarias de la vida cotidiana de las matemáticas en efecto, nos dicen que
$$ \mathbb N\subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C $$
se honesto-a-Platón, el verdadero, ordinario conjunto de inclusiones, de tal manera que, por ejemplo, cualquier número natural es , literalmente, un miembro de cada uno de los otros juegos.
Esto es completamente libre de problemas, polémicas y ni siquiera merecedor de mención, ya que estamos hablando cotidiana ordinaria de matemáticas.
El problema se esboza sólo surgen cuando queremos traducir cotidiana de las matemáticas formales, la teoría de conjuntos axiomática. Las personas que aprenden por primera vez la posibilidad de hacer esto es muy fácil tener la impresión de que queremos (o debería querer) hacer esto todo el tiempo , o incluso que el conjunto de la teoría de la formalización es "qué es la matemática que realmente es" y la cotidianidad de las matemáticas es sólo algún tipo de imperfecto descuidado aproximación a la purelty conjunto de la teoría de la Verdad Eterna.
Este último extremo no es muy defendible si usted piensa acerca de ello (sólo ten en cuenta que la gente estaba haciendo matemáticas durante milenios antes de la teoría de conjuntos axiomática fue inventado, y es absurdo que el Cantor, Zermelo, et al. fueron por primera vez capaz de ver lo que realmente había estado sucediendo). E incluso el más leve vista que nos deben estar buscando en el conjunto de la teoría de la formalización todo el tiempo no es realmente la forma en matemáticas obras. La formalización es algo que debemos hacer una vez, para convencernos de que lo que estamos haciendo no supone ningún contradicciones que no están presentes en la teoría de conjuntos, de tal manera que la teoría de conjuntos contiene todos los fundamentos de la incertidumbre que vamos a necesitar para preocuparse. Después de convencer a nosotros mismos de que nos pondremos de inmediato se olvidan de su detalle y continuar haciendo todos los días las matemáticas siempre hicimos, el tratamiento de la $\mathbb N\subset \mathbb C$ como una verdadera inclusión y así sucesivamente.
Ahora, la pregunta real. Generalmente la formalización se realiza diciendo que hay homomórfica inyecciones $\mathbb N\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb R\to \mathbb C$ que conservar toda la estructura que nos interesa, y entonces, cuando traducimos (bueno, imagino traducir, porque no es en realidad hacer esto, usted sabe) una fórmula diaria en conjunto formal de la teoría que se supone que debemos insertar "invisible" de las aplicaciones de estos homomorphisms y sus inversas, en lugares apropiados que mantener las cosas a tener sentido.
Esto funciona muy bien que es lo que la mayoría de las personas que explicar la formalización imagina que estás haciendo.
Sin embargo, también existe la opción de hacer las inclusiones en el ser real de las inclusiones en el plano formal de la teoría de conjuntos de nivel, que parece que han vuelto a descubrir. Para referencia, sería algo como esto para el paso de $\mathbb R$$\mathbb C$:
En primer lugar, defina $\mathbb{\hat C}=\mathbb R\times \mathbb R$ y convertirlo en un campo de la forma habitual. A continuación, observe que hay una inyectiva campo homomorphism $\phi: x\in\mathbb R\mapsto \langle x,0\rangle \in \mathbb{\hat C}$, y ahora definir
$$ \mathbb C = \mathbb R \,\cup\, \{\mathbb R\}\times(\mathbb{\hat C}\setminus \phi(\mathbb R))$$
donde el $\{\mathbb R\}$ factor sólo sirve para asegurarse de que la unión es distinto, en el "tipo" de la teoría de conjuntos de nivel. A continuación, definir
$\psi : \mathbb C \to \mathbb{\hat C}$ por
$$ \psi(z) = \begin{cases} \hat z & \text{if }z = \langle\mathbb R,\hat z\rangle \\ \phi(z) & \text{if }z \in \mathbb R \end{cases}$$
luego de observar que los $\psi$ es (obviamente) un bijection, tire de la estructura de campo de espalda a lo largo de $\psi$$\mathbb{\hat C}$$\mathbb C$, y demostrar que el campo resultante de la estructura en $\mathbb C$ lo hace en un verdadero campo de extensión de $\mathbb R$.
y podríamos aplicar exactamente la misma técnica que en cada paso en el camino de$\mathbb N$$\mathbb R$, de tal manera que podamos obtener la verdadera inclusiones en todas partes.
Su pregunta es entonces, si he entendido correctamente, si esta construcción es "preferible" para el uso habitual de invisible inyecciones en todas partes.
Bueno, personalmente, me gusta más. Se da un conjunto teórico formalización que está más cerca de cómo ordinaria de matemáticas de trabajo, y se me ocurre que se preocupa por estética puntos.
También parece ser útil para hacer las cosas de esta manera si en realidad queremos formalizar las matemáticas en un fichero automatizado de prueba de comprobación del sistema. A continuación, los detalles más irrelevantes de hacer las inclusiones en el trabajo puede ser aislado en la prueba del teorema "existe algo con las propiedades que $\mathbb C$ usualmente se considera que tienen", incluyendo la propiedad de ser un superconjunto de a$\mathbb R$ --, mientras que el invisible-solución de inyección tiene que ser apoyado por especial-carcasa en el análisis de las fórmulas de todo ordinario de las matemáticas, o por tener un muy complejo genérico solución para llegar a la inserción en los lugares correctos.
Sin embargo, fuera de la computadora-formalización de excepción, el real de la matemática, la respuesta es que en última instancia no importa. Porque no importa si estamos haciendo una cosa o la otra, mientras argumentando que el común de las matemáticas pueden ser reducidos a un conjunto formal de la teoría, lo que sucede al final del día es todavía de que nos olvidamos de los detalles y seguir haciendo ordinario de las matemáticas como hemos hecho todo el tiempo de todos modos.
