Estoy haciendo ejercicios de Hungerford de Álgebra para la preparación de mi examen.
Agradecería un poco de ayuda en una parte de la prueba de la siguiente pregunta:
Ejercicio V. 3.24. Una extensión algebraica $F$ $K$ es lo normal en el $K$ si y sólo si para cada irreductible $f\in K[x],f$ factores $F[x]$ como producto de factores irreducibles todos los cuales tienen el mismo grado.
La parte tengo un problema con la muestra $F$ es normal cuando todos los de la factorización es el mismo grado.
Aquí está mi progreso hasta ahora:
Deje $u\in F$ ser una raíz de $f\in K[x]$.
Tenemos que mostrar que $f$ se divide en $F$, por lo que el $F$ es normal.
Deje $g=f_K^u\in K[x]$ ser el polinomio mínimo de a $u$.
Desde $f(u)=0=g(u)$, se puede concluir que la $g\;|\;f$.
Desde $f,g\in K[x]$ $g\;|\;f$ esto demuestra que $g=f$, ya que el $f$ es irreductible.
Por lo tanto, para todos los irreductible $f\in K[x]$, si se tiene una raíz en $F$, $f$ es necesariamente el mínimo polinomio de algunos $u\in F$.
Vamos a deg $f=d$, de tal manera que $\lbrace u_1,\dots,u_r\rbrace$ son las raíces en la clausura Algebraica $\overline K$$K$.
(Que $r\leq d$, asumiendo algunas de las raíces puede tener multiplicidad $>1$)
$u_1\in F$ por supuesto, pero ¿por qué hemos de suponer que $u_2,\dots,u_r\subset F$?
Mi conjetura es que para algunos $\sigma\in Aut_K\overline K$, puedo tener $\sigma(u_1)=u_j$ que se extiende a un isomorfismo $K(u_1)\cong K(u_j)$, ya que el $\sigma(f)=f$ $\sigma(u_1)=u_j$ son tanto las raíces.
A continuación, el uso de algunos de restricción en $\sigma$, yo debería ser capaz de demostrar que $\sigma(u_1)\in F$.
Pero no estoy seguro de cómo hacerlo.
Gracias por la lectura!
