El φ de Fibonacci números es divisible por $4$

Question

Que $\{f_i\}_{i\in\mathbb N}$ ser la secuencia de números de Fibonacci, es decir, $1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$, para cada entero $n\gt3$ demostrar que $$4\mid\phi(f_n)$ $ $\phi$ Dónde está la función φ de Euler.

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Utilizando la fórmula $\phi(p_1^{\alpha_1}\ldots p_k^{\alpha_k})=p_1^{\alpha_1-1}\ldots p_k^{\alpha_k-1}(p_1-1)\ldots(p_k-1)$ de distintos números primos $p_i$y números naturales $\alpha_i$, podemos decir que el problema es equivalente a demostrar que $n\gt3$, $f_n\notin \{2^{\epsilon}q^k|k\in \mathbb N, q\equiv3\pmod4 \text{ be a natural prime number},\epsilon\in\{0,1\}\}$.

Answer 1

Rápida de fondo: Cassini de la Identidad de los estados que $u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2 = (-1)^n$ donde $u_n$ $n$ésimo número de Fibonacci.

"Tomamos nota de que $(u_n,u_{n+1})=1$, $(u_n,u_{n-1})=1$.

Tenga en cuenta que $1$, $-1$, $-u_{n-1}$, $u_{n-1}$ son incongruentes modulo $u_n$, $u\geq 5$, y una forma multiplicativa de los subgrupos de la multiplicativo el grupo de los enteros modulo $u_n$. Desde el fin de que el grupo multiplicativo de los números enteros mod $u_n$$\phi(u_n)$, donde $\phi(n)$ denota el número de enteros menos de $n$ y el primer a $n$, y dado que el orden del subgrupo se divide el orden de un grupo, $4 | \phi(u_n)$."

Fuente: Un manual para los números de Fibonacci XVII: Generalizada de los números de Fibonacci satisfacer $u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2 = \pm 1$

Este documento también define la secuencia a partir de $0 , 1 , 1, 2, 3, 5,...$, lo que explica el desplazamiento desde su $n>3$ condición.