¿#% Hace el que $n$% #%?

Question

Encontrar todos los números naturales $n$ tal que % $ $$n\mid 1^n+2^n+\cdots+n^n.$

Sabemos a través de la fórmula de Faulhaber, %#% $ de #% donde $$\sum_{k=1}^{n}k^n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}B_k n^{n+1-k},$ es un número de Bernoulli. Revisé algunos docena valores de $B_k$ y parece que los números impares sólo son soluciones. ¿Cualquier ideas sobre cómo proceder de aquí?

Answer 1

Para ver números impares tnat siempre funciona, es suficiente utilizar la fórmula $a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^n)$. Así, si es impar $n$, $n | k^n+(n-k)^n$ y por lo tanto se divide la suma $1^n+...+n^n$.

Answer 2

Extraño $n$ podemos telescopio según lo observado por otros y observar que $n\mid1^n+\cdots+n^n$.

Incluso $n$, que $2^k$ ser la potencia más alta de $2$divisoria $n$. Por el teorema de Euler, tenemos $a^n\equiv1\pmod{2^k}$ si $a$ es impar. $a^n\equiv0\pmod{2^k}$ Si $a$ es par, tenemos %#% $ #% (son exactamente $$1^n+\cdots+n^n\equiv\frac n2\cdot1\not\equiv0\pmod{2^k}$ impares términos en la suma), lo que significa que el $\frac n2$ no puede dividirse $n$.

Answer 3

Sugerencia: Para mostrar trabajos impares $n$, tenga en cuenta puede omitir el término $n^n$ y entonces si se toma el primer y último términos mod $n$ $1^n$ y $(-1)^n$ que cancelar (ya $n$ es impar) y del mismo modo los términos del segundo y el segundo a último están $2^n$ y $(-2)^n$ que cancelar y así sucesivamente (todo porque $n$ es impar).

No está seguro de cómo demostrarlo incluso falla $n$.