Es necesario definir los términos equitativo o eficiente. Y hay que especificar las opciones de acción. Supongamos que no hay otras opciones de acción y que los jugadores tienen que comer la parte del pastel que les toca. Dejemos que la utilidad/valoración del jugador $i$ sea una función de un solo pico/unimodal $u_i(x_i)$ de su parte $x_i$ .
Supongamos que el objetivo de equidad se centra en los jugadores de menor utilidad: la asignación $a$ con servicios públicos $(a_1,a_2,...,a_n)$ en orden creciente es mejor que la asignación $b$ con servicios públicos $(b_1,b_2,...,b_n)$ en orden creciente si hay un $k$ tal que $a_k>b_k$ y $a_i=b_i$ para $i<k$ . He aquí un enfoque para la asignación más equitativa: Determinar la cuota que maximiza la utilidad $x_i$ para cada jugador. Si la suma de las acciones es superior a 1, habrá que reducir algunas acciones. Si la suma de acciones es inferior a 1, hay que aumentar algunas acciones. Aumente o disminuya las participaciones de los jugadores con mayor utilidad manteniendo su utilidad igual. Por ejemplo, aumentar o disminuir sus participaciones hasta que la suma de participaciones llegue a 1 o si su utilidad alcanza el nivel de la siguiente utilidad más alta. En este último caso, se empiezan a ajustar las cuotas del nuevo conjunto de jugadores con mayores utilidades. El algoritmo puede hacerse eficiente.
Supongamos que la meta eficiente se centra en la suma de utilidades: asignación $a$ con servicios públicos $(a_1,a_2,...,a_n)$ en orden creciente es mejor que la asignación $b$ con servicios públicos $(b_1,b_2,...,b_n)$ si $\sum_i{a_i}>\sum_i{b_i}$ . La idea es equiparar las utilidades marginales.
En primer lugar, algo de notación. Supongamos que las funciones de utilidad son diferenciables y cóncavas. Definir la inversa de las funciones de utilidad marginal $r_i(s)$ como $\mathrm{d}u_i(x_i)/dx_i\mid_{x_i=r_i(s)}=s$ . Si hay varias soluciones para la ecuación anterior, elija la más alta para que sea positiva $s$ y el más bajo para el negativo $s$ (para estar más cerca del pico). Si $\mathrm{d}u_i(x_i)/dx_i<s\forall{x_i}$ , elija $r_i(s)=0$ .
De nuevo, empieza con la acción de maximización de la utilidad $x_i$ para cada jugador. Si la suma de las acciones es superior a 1, se determina el mínimo $s>0$ tal que $\sum_i{r_i(s)}=1$ . Si la suma de las acciones es inferior a 1 determine el máximo $s<0$ tal que $\sum_i{r_i(s)}=1$ . La solución es $x_i=r_i(s)$ . Las torceduras en la función de utilidad y en la no-caoncavidad se pueden acomodar con un poco más de trabajo.
Para ser relevante desde el punto de vista económico, este problema necesita más estructura. Algunas ideas: (1) El supuesto de libre disposición (los jugadores pueden deshacerse sin coste alguno del trozo de pastel que no necesitan) garantizaría funciones de utilidad no decrecientes. (2) No hay razón para que todos los jugadores tengan el mismo peso. Por ejemplo, si una persona es siempre infeliz (la función de utilidad está por debajo de las funciones de utilidad de los demás jugadores), la asignación equitativa para equipararlo a los demás no parece apropiada. (3) Si los jugadores pudieran comerciar (tuvieran suficiente dinero en efectivo o cualquier otra mercancía que valoren de forma idéntica), se podría hacer cualquier asignación y los jugadores comerciarían para acabar con la asignación eficiente. Utilidad marginal $s$ sería el precio de mercado.
